請問經濟學求解或是教學?

Tangency portfolio: 切線投資組合.

經濟學家 Harry Markowitz 1952 提出的現代投資組
合理論. 他於 1990 因此獲得諾貝爾經濟學獎.

假設 n 種投資標的, 其投資報酬率 Ri 是隨機變數,
並且假設諸 Ri 的期望值 μ_i = E[Ri], 變異數
σ_i^2 = Var[Ri] 及共變異數 σ_ij = Cov[Ri,Rj]
都是已知的.

把上述假設用矩陣、向量表示:
    M = E[R], V = Cov[R].

又令 w 代表分配至各標的的權量向量, 即代表一籃
投資組合. 例如假設只有兩種投資標的: n = 2,
    R_w = w'R = w_1．R1+w_2．R2
    μ_w = w'M = w_1 μ_1 + w_2 μ_2
此一籃投資組合的報酬率變異數是
    σ^2_w = w' V w
           = w_1^2 σ_1^2 + w_2^2 σ_2^2
                    + 2 w_1 w_2 σ_12
標準差 σ_w = √σ^2_w = √(w' V w). 變異數或
標準差代表著投資的風險.

投資者的想法是在風險不增(不變)的條件下極大化
期望報酬:
    max. μ_w = w'M
    s.t. σ^2_w = w' V w = k (constant)
或者, 反過來, 在期望報酬不減(不變)的條件下,
極小化風險:
    min. σ^2_w = w' V w
    s.t. μ_w = w'M = constant
用 Lagrange 方法, 配合矩陣代數, 可得最適當的
投資組合 (w) 滿足
    Vw = λM for some constant λ.
也就是 w = λV^(-1)M.
由於 1'w = w'1 = 1 (w 的元素總和是 1), 得
    w = V^(-1)M/(1'V^(-1)M)
式中 "1'" 的 1 是一個元素都是實數 1 的行向量.

以上是在市場無零風險投資標的, 且沒有一種投資
組合可被另一種投資組合完全取代 (或者更簡單地
說: 共變異矩陣 V 可逆.) 的條件下得到的最適投
資組合.

因此, 最適投資組合的期望報酬率為
    μ_w = M'w = (M'V^(-1)M)/(1'V^(-1)M)
而其風險用變異數衡量是
    σ^2_w = w' V w = (M'V^(-1)M)/(1'V^(-1)M)^2
所以
    μ_w = c (σ_w)^2, c = 1'V^(-1)M.
以 μ_w 為縱軸, σ_w 為橫軸, 曲線
    μ_w = c (σ_w)^2
的左上部分稱為 "效率前緣(沿)".


如果有無風險投資標的: μ_0 > 0, σ_0 = 0.
將此投資標的加入投資組合考慮:
    μ = w_0 μ_0 + w'M
    σ^2 = w'Vw
一般而言, μ_0 < μ_i, for all i = 1,...,n.
因此風險性投資組合可以完全考慮如上.(注意上面
的數學模型雖有考慮風險大小限制或期望報酬張制,
但最後在考慮投資組合配置 w 時, 完全沒考慮限制,
只算出 w 的相對組成.)

因此, 在考慮無風險及有風險投資之綜合組成時,
可以將風險性投資歸併為一項, 於是綜合投資組合
之期望報酬與標準差分別為:
    μ = w_0 μ_0 + w_1 μ_1
    σ = w_1 σ_1
故
    μ = (w_0 μ_0) + (μ_1/σ_1)σ......(1)
一般寫成 (設 w_0 = 1 - w_1)
    μ = μ_0 + w_1(μ_1-μ_0)
       = μ_0 + σ[(μ_1-μ_0)/σ_1].....(2)
兩式都表明 μ 和 σ 呈直線關係, 此直線稱為
"最佳資本配置線".

最佳資本配置線與前述效率前緣會相切, 切點稱為
"切線投資組合"(tangency portfolio).

有點類似於數學題目，經濟學、會計學、統計學都要學會才行。