正整數720的正因數共有a個，這些正因數的總和為b， 在解答裡a的算法為(4+1)*(2+1)*(1+1)想知道為什麼不像硬幣類的題目需要-1，b的算法為(2的0次+2的1次+2的2次....)*(3的0次+3的1次)...以此類推，想知道為何需要各別相加再相乘及為什麼需要有0次?

[Q]
a的算法為(4+1)*(2+1)*(1+1)想知道為什麼不像硬幣類的題目需要-1

[A]
我不知你所謂的 "硬幣類的題目" 問什麼.

720 = 2^4×3^2×5^1
3個質因素的冪次分別是 4, 2, 1. 
因此 720 的因數可以 2 的冪次取 0～4,
3 的冪次取 0～2, 5 的冪次取 0～1. 所以
總共有 (4+1)(2+1)(1+1) = 30 個不同因數.
其中包含 1 (3個質因數的乘冪都取 0), 和
720 (3個質因數的乘冪都取最高次). 



[Q]
b的算法為(2的0次+2的1次+2的2次....)*(3的0次+3的1次)...以此類推，想知道為何需要各別相加再相乘及為什麼需要有0次?

[A]
因數的建法是各質因數的乘冪取 0 ～ 最高次, 
已解釋如前. 因此, 所有因數形如
    2^i × 3^j × 5^k, i = 0～4, j = 0～2, k = 0～1
所以所有因數的總和(用總和符號Σ表示)是
  Σ_{i=0～4} Σ_{j=0～2} Σ_(k=0～1} 2^i 3^j 5^k
    = Σ_{i=0～4} 2^i Σ_{j=0～2} Σ_{k=0～1} 3^j 5^k 
    = Σ_{i=0～4} 2^i Σ_{j=0～2} 3^j Σ_{k=0～1} 5^k 
    = (Σ_{i=0～4} 2^i)(Σ_{j=0～2} 3^j)(Σ_{k=0～1} 5^k)
第一個等號是對相同 i 的把共同的 2^i 提出來,
猶如 xy+xz+... = x(y+z+...).
第2個等號類似地把共同的 3^j 提出來.

第3個等號稍為不同, 但也是 "提出共同因子"
的操作: xu+yu+... = (x+y+...)u. 
因為, 在第3式其意是
  Σ_{i=0～4} 2^i [Σ_{j=0～2} 3^j (Σ_{k=0～1} 5^k)]
按 "提出共同因子" 的操作是
  Σ_{i=0～4} 2^i [Σ_{j=0～2} 3^j (Σ_{k=0～1} 5^k)]
    = Σ_{i=0～4} 2^i [(Σ_{j=0～2} 3^j)(Σ_{k=0～1} 5^k)]
    = (Σ_{i=0～4} 2^i)(Σ_{j=0～2} 3^j)(Σ_{k=0～1} 5^k)
此即第4式.