高一數學 多項式的運算與應用?

[解法1] 待定係數法
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
1     = a     + b       + c    + d
2     = 8a  + 4b     + 2c    + d
-2   = 64a   + 16b   + 4c  + d
5    = 125a  + 25b  + 5c  + d
解 a, b, c, d 即得.

[解法2] 插值法, Lagrange.
f(x) = 1(x-2)(x-4)(x-5)/[(1-2)(1-4)(1-5)]
         + 2(x-1)(x-4)(x-5)/[(2-1)(2-4)(2-5)
         - 2(x-1)(x-2)(x-5)/[(4-1)(4-2)(4-5)]
         +5(x-1)(x-2)(x-4)/[(5-1)(5-2)(5-4)]
化簡之.

還有其他插值公式, 例如 Newton.
 x_i    y_i   第1階差商  第2階差商  第3階差商
   1      1           1                -1                1
   2      2          -2                 3
   4     -2           7
   5      5
f(x) = 1 + 1(x-1) + (-1)(x-1)(x-2) + 1(x-1)(x-2)(x-4)
化簡即得.

f(1)=1
a+b+c+d=1 i

f(2)=2
8a+4b+2c+d=2 ii

f(4)=-2
64a+8b+4c+d=-2 iii

f(5)=5
125a+25b+5c+d=5 iv

ii-i
7a+3b+c=1 v

iii-ii
56a+4b+c=0 vi

iv-iii
61a+17b+c=7

a=-5/158
b=87/158
c=-34/79
當a,b,c代入i
d=75/79

f(x)=-(5x^3)/158+(87x^2)/158-(34x)/79+75/79
f(x)=(1/158)(-5x^3 +87x^2-68+150)