向量的內外積到底要怎麼解釋？有人能幫忙把高中所有會上到的數學都列出來並大概解釋一下？

現行台灣高中數學課綱可參考:
https://www.youtube.com/watch?v=OllAGAfE9lg
https://www.naer.edu.tw/ezfiles/0/1000/attach/49/pta_18525_3769746_60029.pdf

向量內積 (inner product), 又稱點積 (dot product)
或純量機 (scalar product). 注意純量積是指計算
結果為純量, 與 "純量乘法"(scalar multiplication)
是兩回事, 後者是指一個純量與一個向量相乘, 或
稱向量的純量倍數乘法,是向量的拉長或縮短或反
向.

向量的內積是同一個 (向量) 空間中兩向量映至一
個純量的運算. 在無座標上內積的定義可以是:
    A．B = ||A|| ||B|| cos(θ)
式中 ||A||, ||B|| 分別表示向量 A, B 的 "大小"(長度),
θ 是兩向量間的夾角, 0° < θ < 180°.

在 "佈於 R 的向量空間上", 經座標化, 向量用 n 元
序組 (a_1,...,a_n) 表示, 或稱是 R^n 向量.  n = 2
時也稱平面向量, (a,b) 也用 ai+bj 表示, i, j 是 R^2
中兩個標準座標向量. ai 就是 i 的 a 倍, 就是前面
說過的 "向量的純量乘法". 在 R^3 中, 向量 (a,b,c)
也用 ai+bj+ck 表示. 

經座標化的向量內積有簡單的算式:
(a_1,a_2,...,a_n)．(b_1,b_2,...,b_n)
    = a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n


向量的 "外積" 又稱 "交叉積"(cross product) 或
 "向量積"(vector product), 是 R^3 特有的一種
向量運算. 它把 R^3 中兩向量映至一個與原先
兩向量都垂直的第三向量. 新向量是依 "右手定
則" 決定方向, 以符號表示:
    A × B = ||A|| ||B|| sin(θ) n
式中 n 是依右手定則決定的, 與 A, B 都垂直的
方向的單位向量. 若經座標化,
    A = (a_1, a_2, a_3) = a_1 i + a_2 j + a_3 k
    B = (b_1, b_2, b_3) = b_1 i + b_2 j + b_3 k
則
    A × B = (a_2 b_3 - a_3 b_2) i
                  + (a_3 b_1 - a_1 b_3) j
                  + (a_1 b_2 - a_2 b_1) k
學過行列式的話, 可以用行列式表現交汐積:
                 |     i       j       k   |
   A × B =  |  a_1  a_2  a_3 |
                 |  b_1  b_2  b_3 |
把 i, j, k 當做普通實數一般運算.

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