A,B,C,D 4種可為複數裝進大箱子裡 大箱子最多裝4個內容 求組合數？

補充: 關於
Σ_{m=1～n} C(m+k-1,k-1) 
   = Σ_{m=1～n} [C(m+k,k)-C(m+k-1,k)]
   = C(n+k,k) - 1

組合係數關係式 C(p,q) = C(p-1,q) + C(p-1,q-1).
這一則可用純代數運算證明, 另則可用 "選取"
程序解釋:
    p 相異物取 q 件,  可先考慮其中特定 p 物之一,
    例如第一物, 它可能
    (a) 被選中, 故其餘 p-1 物要取 q-1;
    (b) 未選中, 則其餘 p-1 物要取 q.
兩種情形合計即是 p 相異物取 q 件之方法數,

故: C(p-1,q-1) = C(p,q) - C(p-1,q).

回首看 Σ_{m=1～n} [C(m+k,k)-C(m+k-1,k)].
展開之:

[C(1+k,k)-C(0+k,k)] + [C(2+k,k)-C(1+k,k)]
 ^^^^^^^^                                    ^^^^^^^^
  + ... + [C(n-1+k,k)-C(n-1+k-1,k)] +[C(n+k,k)-C(n+k-1,k)]
              ^^^^^^^^^  ==========                    ^^^^^^^^^^

注意上列展開式可前後相消, 最後只留下第一
組的 -C(k,k) 與最後一組的 C(n+k,k). 所以,
   Σ_{m=1～n} [C(m+k,k)-C(m+k-1,k)} 
          =  C(n+k,k) - C(k,k)

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答案是 C(4+4,4) -1 = C(8,4) -1  種,.


如果裝滿的話, 等於
x + y + z + u = 4 的非負整數解數,
C(4+4-1,4-1) = C(7,3) = 35

一般, k 種物, 任意組合裝箱, 每箱 n 件,
則方法數 = C(n+k-1,k-1).


不要求裝滿, 最少裝一件, 則是
1 ≦ x + y + z + u ≦ 4 的非負整數解數,
所以是
C(7,3) + C(6,3) + C(5,3) + C(4,3) = C(8,4) - 1.

一般情形
Σ_{ m = 1 to n} C(m+k-1,k-1)
    = Σ_{m=1～n} [Cm+k,k)-C(m+k-1,k)}
    = C(n+k,k) - 1.

不好意思 大大  
Σ_{m=1～n} [Cm+k,k)-C(m+k-1,k)}    = C(n+k,k) - 1
這邊的過程看不懂 有沒有詳細的演算過程呢？
這個好像是等比級數或是因數列數的應用