工程數學拜託幫我解題 1.已知y=e^x，試以降階求法求解y''-y'=0 2.已知y1=x^2，試以降階求法求解x^2y''-xy'-4y=0?

因回答被隱藏, 也不知問題出在哪裡, 今將解答減縮,
希望能解決吧.


1. 已知 y1(x) = e^x 是 y" - y' = 0 之一解.
令 y(x) = u(x)y1(x), 則方程式 y" - y' = 0 變成
    u" + u' = 0.

就 u" + u' = 0 來解題.

設 w(x) = u'(x), 則 u" + u' = 0 變成 w' + w = 0.
解之, 得 w(x) = C1 e^(-x).

因 w(x) = u'(x), 故需再解
    u'(x) = C1 e^(-x)
兩邊積分, 得
    u(x) = -C1 e^(-x) + C2

代入 y = u y1 = u(x)e^x, 得
    y = C1' + C2 e^x

注意此解包含 y = y1 = e^x 為特例. 故此即方程式
y" - y' = 0 之通解.


若就 y" - y' = 0 直接求解, 設 w = y', 則得
w' - w = 0, 其解為 w = C1 e^x. 再解
    y' = C1 e^x
得 y = C1 e^x + C2.



2.已知y1=x^2，試以降階求法求解x^2y''-xy'-4y=0

設 y1 = x^2 則  x^2 y1" - x y1' - 4 y1 = -4x^2 ≠ 0 
故題目假設之 y1 並不適當 (無法降階).

改設 y1 = |x|^(1+√5). 得
    y1' = (1+√5)sgn(x)|x|^√5
    y1" = (5+√5)|x|^(√5-1)
式中 sgn(x) 是 x 的(正負)符號函數. 因此有
    |x| = sgn(x)x, x = sgn(x)|x|.

代入方程式可確認此 y1 確實是一解. 

令 y = u y1 = |x|^a u, a = 1+√5. 則 原方程式變成
     |x|^(a+2) u" + (2a-1)sgn(x)|x|^(a+1) u' = 0 

令 w(x) = u'(x), 則上列二階方程 變成一階方程: 
    |x|^(a+2) w' + (2a-1)sgn(x)|x|^(a+1)w = 0
在 x ≠ 0 處, 可化簡成
    xw' + (2a-1)w = 0
解得
    w(x) = C1/|x|^(2a-1) for x ≠ 0; or w(x)≡0.

因 w(x) = u'(x), 故
    u(x) = ∫ w(x) dx
         = C1' sgn(x)/|x|^(2a-2) + C2 for x ≠ 0;
或
    u(x) = C2 for all x in R.

代入 y = u y1, 得
    y = C1' sgn(x)|x|^(2-a) + C2 |x|^a
      = C1' sgn(x)|x|^(1-√5) + C2 |x|^(1+√5), x ≠ 0;
或
    y = C2 |x|^(1+√5) for all x in R.

由於 |x|^(1-√5) 在 x = 0 無定義, 因此通解亦可寫成
    y = C1 |x|^(1-√5) + C2 |x|^(1+√5), x ≠ 0;
或
    y = C2 |x|^(1+√5) for all x in R.


事實上在尋找一個特解 y1 時, 得兩個解: |x|^(1+√5)
與 |x|^(1-√5). 而這兩個解是線性獨立的. 因此, 可知
原方程式的通解即是
  y = C1 |x|^(1-√5) + C2 |x|^(1+√5), x ≠ 0; 或 C1 = 0.