X的平方是2的倍數 求證X為2的倍數  (用代數證明)?

設 X 是偶數，則 X=2a。（a=任何整數）

X² = (2a)² = 4a²

∵ 4 是 2 的倍數。

∴ 4a² 是 2 的倍數
   X² 是 2 的倍數。
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設 X 是奇數，則 X=3a。 (或 5a / 7a / 9a, etc.)

X² = (3a)² = 9a²

∵ 9 不是 2 的倍數。

∴ 9a² 不是 2 的倍數
   X² 不是 2 的倍數。

∴ 如果 X² 是 2 的倍數，X 必定是 2 的倍數。
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P.S. X 要是整數！

2|x^2 ==> 2|x

[說明]

定理:
若 m, n 為整數, p 為質數, 則 p|m 或 p|n.

這定理與下列 "算術基本定理" 等價:
每個大於1 的自然數或者是質數, 或者可以表示為
2個以上質數值可以相等)的乘積, 而且這些質因數
由小而大排列之後, 其乘積式唯一.

此處 p = 2, m = n = x 只是前述定理之特例.


[反證法直接證明本例]
設 2 不是 x 的因數 (x 不是 2 的倍數), 則 x 是奇數,
x = 2k+1, k 是整數. 故
    x^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k +1 = 2(2k^2+2k) + 1
也就是說 x^2 也不是 2 的倍數. 這與 x^2 是 2 的倍
數矛盾. 追溯矛盾之來源, 是假設 "x 不是 2 的倍數"
所致. 故得證 x 是 2 的倍數.