(急急急)三位數對調相加因數問題?

一個3位數 abc 意思是 1oo a +1o b +c.
前後對調是 1oo c +1o b +a.
兩者相加是
1o1 a + 2o b + 1o1 c 
    = (1o2-1)a+(1o2-1)c+(21-1)b
    = 1o2a + 1o2c + 21b - (a+b+c)
前三項是 3 的倍數, 最後 a+b+c 則不盡然.
你舉的例子只不過是因本來 123 就是 3 的倍數.
例如 458 + 854 = 1312 並非 3 的倍數.

數字 abc 與其前後對調結果 cba 之和會是 3 的倍數
若且唯若 abc 本身就是 3 的倍數.


其實如果改成兩者相減, 結果就是對的. 甚至不限三
位數. 即: 
任一 n 位數 a_n ... a_1 與其反轉數 a_1...a_n 之差
為 9 的倍數.

當 n = 2 時, ab 的反轉是 ba.
(1o a +b) - (1o b +a) = 9 a - 9 b = 9(a-b).

設 n = k 時是對的.
當 n = k+1 時:
設原數為 a_(k+1)a_k...a_1. 以 A 表示 a_k...a_1.
A 之反轉為 a_1...a_k, 以 B 表示.
則原數是 1o^k a_(k+1) + A, 其反轉是 1o B+ a_(k+1).
兩者之差:
  [1o^k a_(k+1) + A] - [1o B+ a_(k+1)]
    = (1o^k -1)a_(k+1) +(A-B) - 9B
依假設, A-B 是 9 的倍數, 而 1o^k - 1 明顯是 9 的倍
數. 故整個式子的值是 9 的倍數.

所以: 任意2位以上數字, 與其(前後數位)反轉的數字
相減, 都是 9 的倍數.


事實上不必完全反轉, 任意兩個數位對調, 結果也是
9 的倍數. 而且, 若只發生一組兩個數位對調, 很容易
由其差值可知對調發生在哪兩個位置, 而這兩個數位
的數字差又是多少. 在計算的檢誤上, 這是一種檢誤法.
例如第 j 位(a) 與第 k 位(b) 對調了, 將造成差值:
  (1o^(j-1) a + 1o^(k-1) b) - (1o^(j-1) b + 1o^(k-1) a)
    = (1o^(j-1)-1o^(k-1)) (a-b)
設 j > k, 則上式等於
      1o^(k-1) (1o^(j-k)-1) (a-b)
上式第2個因子是 9 × 1...1, 幾個 1 就看差值 j-k; 而
第一個因子可以看出對調之兩個數位右邊那個.

又: n 位數其數位任意重排, 都可由原數經數位之兩兩
對調達成 (這是另一問題). 因此, 由上面兩數位對調的
結果可知: 經任意數位重排後與原數之差, 仍是9的倍數.
例如: 12345 經任意重排, 如 32514, 則
    32514 - 12345 = 20169 = 9 × 2241

又: 以上都是建立在十進位數字的結果, 如果是其他
定值進位制, 如 8 進位, 則 "9 的倍數" 改成 "7 的倍數";
如 4 進位制, 改成 "3 的倍數". 

如非定值進位制, 如台制 1斤16兩, 1兩1o錢, 1錢1o分,
則斤兩錢分的數字錯亂, 就不適用前述結論了.

124+421=545就不是3的倍數,所以題目有誤