高中數學(M2)~矩陣~教科書有不明白的地方~! ?

(B^(-1)AB)^2 =  (B^(-1)AB) (B^(-1)AB)
    = B^(-1)A(BB^(-1))AB
    = B^(-1)AIAB
    = B^(-1)(A^2)B

設 (B^(-1)AB)^k =  B^(-1)(A^k)B, 則
    (B^(-1)AB)^(k+1) = (B^(-1)AB)^k (B^(-1)AB) 
         = (B^(-1)A^k B)(B^(-1)AB) 
         = B^(-1)A^(k+1)B

∴ 對任意正整數 n, 
   (B^(-1)AB)^n = B^(-1)(A^n)B


由於 B^(-1)AB = diag(2,3), 而對角線矩陣 diag(2,3)
的 n 次乘冪直接是主對角線元素變成 n 次冪, 即
    (diag(2,3))^n = diag(2^n, 3^n)

打個岔: diag(a_11, a_22, ...) 是對角線矩陣的表示法, 
a_11, a_22... 是此矩陣的主對角線元素 (其他元素都
是 0). 這種表示法便於書寫及如此處之文字輸入方式.


因此, 要算 A^n 時, 可先把 A 對角線化, 然後求 n 次
冪, 最後再換算回來:
(1) B^(-1)AB = diag(2,3)
(2) B^(-1)(A^n)B = (B^(-1)AB)^n = diag(2^n, 3^n)
(3) A^n = B(B^(-1)(A^n)B)B^(-1)
            = B(diag(2^n,3^n))B^(-1)