工程數學題目xy'=（y-x）^3+y 通解?

令 u = y - x, 所以 
    y = u + x
    y' = u' + 1

xy' = (y-x)^3 + y
<==> x(u'+1) = u^3 + u+x
<==> xu' = u^3 + u
(For x ≠ 0, u≠0)
<==> u'/(u^3+u) = 1/x
<==> u'[1/u - u/(u^2+1)] = 1/x
<==> ln|u| - (1/2) ln(u^2+1) = ln|x| + C
<==>  |u|/√(u^2+1) = C' |x|, C' > 0

由原方程式,  x = 0 則 y = 0, u = 0;
由前列通解, 亦通過 (0,0).

又: u = 0 即 y = x 亦滿足原方程式, 也滿足前列
通解 C' = 0 情形.

所以全解為:
     |y-x|/√[(y-x)^2+1] = C|x|,  C ≧ 0


注意:
或許有人會將通解寫成
     |y-x|/√[(y-x)^2+1] = C x,  C 任意常數;
或
   (y-x)/√[(y-x)^2+1] = C x,  C 任意常數.
但此式與前解不同. 因通解只是一堆解的通式,
實際解則是代入一個特定常數 C. 而代入任一
特定常數 C, 可很容易看出以上兩式皆不同於
前列通解.


為確認通解正碓性, 對
     |y-x|/√[(y-x)^2+1] = C|x|
做隱函數微分. 

首先, |x| 在 x = 0 雖不可微分, 但 |y-x| 當 y = x 
時的微分為 0, 而 (0,0) 亦在其中. 故可將 |x| 與
 |y-x| 之導數寫成
     (|x|)' = s(x);   (|y-x|)' = s(y-x)(y'-1)
s(x) 表原 x 的正負號函數, 即 s(x) = 1, 0, 或 -1
視 x > 0, = 0, 或 < 0 而定.

所以  |y-x|/√[(y-x)^2+1] = C|x|  微分得:
   s(y-x)(y'-1)/√[(y-x)^2+1]
                  - |y-x|(y-x)(y'-1)/[(y-x)^2+1]^(-3/2)
       = C s(x)
∴ (y'-1){s(y-x)[(y-x)^2+1] - |y-x|(y-x)} 
       = C s(x) [(y-x)^2+1]^(3/2)
∴ (y'-1) s(y-x) = C s(x) [(y-x)^2+1]^(3/2)
∴ x (y'-1) s(y-x) = C |x| [(y-x)^2+1]^(3/2)
        = (|y-x|/√[(y-x)^2+1]) [(y-x)^2+1]^(3/2)
        = |y-x| [(y-x)^2+1]
∴ x(y'-1) = (y-x)[(y-x)^2+1] = (y-x)^3 + y-x
∴ xy' = (y-x)^3 + y.

睇英文電影 一開始可以睇中文字幕 過一排覺得跟到就轉英文字幕 一開始會好辛苦，但後尾你會迫自己跟到 之後再進化到冇字幕

睇英文書可以每次睇完一個Chapter講個summary畀自己聽 或者更加好就揾下班上志同道合既朋友搞個讀書會互相分享讀後心得（好有用！）

最直接就係同外國人或者ABC傾計 不過前提係要好有自信 唔怕菸先