最近要微(危)積(機)分期中了!!!請求各路好手解惑?

f(θ) = 2cos(θ) + cos^2(θ),  0 ≦ θ ≦ 2π

f'(x) = -2sin(x) + 2cos(x)(-sin(x))
       = -2sin(x)(1+cos(x))
∵ 1 + cos(x) ≧ 0 for all x
∴ f'(x) ≧ 0 if and only if sin(x) ≦ 0
       if and only if π ≦ x ≦ 2π
∴ f(x) 在 [π,2π] 上升 ( 而在 [0,π] 下降. )

   因此, f(x) 在 x = π 有 local minimum.
   而 maxium 發生在端點, 但沒有 local maximum.
   (Local maximum/minimum 都限定在定義域的內點.)

從 critical point 著手:
f'(x) = 0  if and only if sin(x) = 0 或 cos(x) = -1.
sin(x) = 0 發生在 x = 0, π, 2π;
cos(x) = -1 發生在 x = π.
0, 2π 是端點, 不論. 唯一的臨界點在 x = π.

f'(x) 在 π 左邊鄰近, sin(x) > 0, cos(x) > -1,
故 f'(x) < 0. 在 π 右邊臨近, f'(x) > 0.
由第一階導數測驗, 知在這唯一的臨界點,
f(x) 達 local minimum. 

因為是唯一的臨界點, 所以 local minimum
就是 absolute minimum.

也可由考慮第二階導數來驗證 x = π 時 f(x)
是 local minimum:
f"(x) = -2cos(x) -2(cos^2(x)-sin^2(x))
∴ f"(π) = 2 > 0
故 f(θ) 在 θ=π 得 local minimum.

這函數沒有 local maximum, 是因局部極值定義
被限制在函數定義域內點. 如果不排除端點, 端
點本身當然是局部極值所在, 而在本例它們也是
local maximum 所在. 同時, 在本例, 兩個端點的
單邊導數也都是 0.