請問微分方程問題？

設
I(x) = ∫_(0,∞) e^{-[t^2+(x/t)^2]} dt, x ≧ 0.
又設
I*(x) = ∫_(0,∞) (-2x/t^2) e^{-[t^2+(x/t)^2]} dt
這是對 I(x) 中的積分元做對 x 的偏微分而後積分.
我們希望 I'(x) = I*(x), 也就是所謂 "積分號下微分".
如果是普通定積分(黎曼積分), 積分號下微分是沒
問題的. 但 I(x) 定義中的積分是所謂 "瑕積分", 就
需要額外的條件如下:
   如能證得 I(x) 均勻收斂而 I*(x) 收斂, 則
   積分號下微分可行.
幸運的是: 上述條件成立.(證明後附), , 故 I*(x)=I'(x).

對 I(x) 之積分式取 s = x/t 之變換, 則
I(x) = ∫_(0,∞) (-x/s^2) e^{-[(x/s)^2+s^2]} ds
     = (1/2)I*(x) = (1/2)I'(x)
即 I(x) 滿足微分方程
I'(x) = 2I(x), x ≧ 0.
I(0) = (1/2)√π.
故解得 I(x) = I(0)e^(2x) = (1/2)√π e^(2x)


原題是 ∫_(0,∞) e^{-[t^2+9/t^2]} dt = I(3),
故得值 (1/2)√πe^6 = (e^6/2)√π.




[證明 I(x) 均勻收斂及 I*(x) 收斂]

首先,
    t^2 + (x/t)^2 = (t - x/t)^2 + 2x
令 u = t - x/t, 則
   du/dt = 1 + x/t^2
若限制 x ≧ 0, 則 u 是 t 的嚴格增函數.
又: 由 u 之定義, 在 x ≧ 0 之下
    t = {u + √(u^2+4x)}/2
∴ t^2 = {(u^2+2x) + √[u^2(u^2+4x)]}/2
∴ x/t^2 = {(u^2+2x) - √[u^2(u^2+4x)]}/(2x)
         = {(u^2+2x) - √[(u^2+2x)^2-4x^2]}/(2x)
這是 u^2+2x 的減函數, 也即是 |u| 的減函數.
所以,
   x/t^2 ≦ 1

因而, 依均勻收斂之 M-test,
I(x) = ∫_(-∞,∞) (1+x/t^2) e^{-(u^2+2x)} du
是均勻收斂的. 而
I*(x)=∫_(-∞,∞)(-2x/t^2)(1+x/t^2)e^{-(u^2+2x)}du
是收斂的.