求解答~~工數 的分離變數法之通解?

1.
(x+y)dx - (3x+3y-4)dy = 0

令 u = x+y
則 du = dx + dy, dx = du - dy
原方程式變成
 u(du-dy) - (3u-4)dy = 0
<==> udu - (4u-4) dy = 0
(若 u ≠ 1)
<==> u/(u-1) du - 4 dy = 0
<==> u/(u-1) du = 4 dy
兩邊積分, 得
u + ln|u-1| + C = 4y
再將 u = x+y 代回:
(x+y) + ln|x+y-1| + C = 4y
或即
3y-x - ln|x+y-1| = C, x+y ≠ 1.

若 x + y = 1, 則原方程式變成:
dx + dy = 0
解為
x + y = C'
但這是在 x + y = 1 限制下, 所以上列通解只表示
x + y = 1 亦是一解.

故全解為:
x + y = 1 ;  或 3y-x - ln|x+y-1| = C, x+y ≠ 1.
用 app 把解畫圖出來, 3y-x - ln|x+y-1| = C 是一組
各缺一點的曲線族, 其所缺一點就在直線 x + y = 1 
上.


2.
如果是: x dx + e^(2y) dy = 0
直接移項:
x dx = - e^(2y) dy
兩邊積分
x^2/2 = -e^(2y)/2 + C
化簡:
x^2 + e^(2y) = 2C
可寫成 x^2 + e^(2y) = C.


說明:
習慣性把可分離變數方程寫成
   M(x) dx = N(y) dy
而後兩邊積分. 其實是沒必要的, 直接對
   M(x) dx - N(y) dy = 0
積分即可:
   ∫ M(x) dx - ∫ N(y) dy = C



下列圖形為 第1題 之解的圖形.