高中數學 行列式 ?

2020-10-03 4:54 pm
證明行列式: 

| a^2          b^2       (a+b)^2 |
| a^2         (a+c)^2      c^2    |  =  -2abc(a+b+c)^3
|(b+c)^2    b^2            c^2    |  

請留下少少過程或解題方法~! 

回答 (1)

2020-10-03 6:41 pm
| a^2       b^2       (a+b)^2 |
| a^2      (a+c)^2    c^2     | = -2abc(a+b+c)^3 
|(b+c)^2  b^2         c^2     |  

觀察行列式, 首先, 若 a, b, c 三符號任意互換,
例如 a, b 互換, 新的行列式將第一、二直行對換,
第二、三橫列對換, 則變成原行列式. 這表示: a, b
互換結果行列式值不變. 其他如 b, c 互換或 a, c
互換也是一樣. 因此, 行列式值, 設為 f(a,b.c), 是
符號對稱的. 明白寫出來就是
   f(a,b,c) = f(b,a,c) = f(a,c,b) = f(c,b,a)
        = f(b,c,a) = f(c,a,b)
所以把 f(a,b,c) 因式分解後, 每一因子是形如 
abc, a+b+c 等符號對稱形.

設 a, b, c 分別以 0 代入, 都得到 f(a,b,c) = 0
的結果. 例如
   f(0,b,c) = (b+c)^2 (b^2 c^2 - b^2 c^2) = 0
所以 f(a,b,c) 有 abc 的因子.

設 a+b+c = 0, 則 (b+c)^2 = a^2, (a+c)^2 = b^2,
(a+b)^2 = c^2. 也就是行列式 3 列成為相同.
這表示:
(1) f(a,b,c) 有 a+b+c 這個因子.
(2) a+b+c 這因子至少 2 次方.

綜上所述, f(a,b,c) 可被 abc(a+b+c)^2 整除.

行列式展開的話, 各項的 a, b, c 乘冪和是 6.
而 abc(a+b+c)^2 展開後各項乘冪和只有 5,
因此 f(a,b,c) 被  abc(a+b+c)^2  除了以後還
有一個符號對稱的因式, 也就是 a+b+c. 因此,
f(a,b,c) = kabc(a+b+c)^3, k 是待定常數.

f(1,1,1) = 4+4+4-1-1-4^3 = -54.
1×1×1×3^3 = 27
也就是說 a=b=c=1 時
     f(a,b,c) = -54 

     abc(a+b+c)^3 = 27
所以得 k = -2.

因此, f(a,b,c) = -2abc(a+b+c)^3.


收錄日期: 2021-04-25 12:56:35
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20201003085423AAOhvSR

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