Maths problem: 可否用文解釋給我聽,我不明白,謝謝?

(原回答不知犯了哪條禁, 又隱藏看不見...
 以前還可改放意見欄, 現在這條路也被堵了!)

Leon 直視鏡子就可看到自己的影像;
Patrick 卻看不到自己的, 因為他前方沒有鏡子.

他們2人的影像透過兩人中點對應的鏡面反射給對方看到. 


基本概念就是: 這鏡子能被看到物體的影像靠的就是 
鏡面對光線的反射. 如果一物(或人)能隨著光線把影像
投射到鏡面, 並反射到觀察者的眼睛, 那麼這物(或人)
就可以被觀察者用鏡子看到.

本題 Leon 正對著鏡子, 當然可以從鏡子看到自己.
而 Patrick 正前方並沒有鏡面, 所以他無法在鏡中看到
自己(的影像).

兩個人從鏡面可以看到對方, 因對方的影像隨著光線
射入鏡面反射到另一方. 也就是說 Patrick 的影像隨著
光線投射到鏡面後反射到 Leon 的眼睛; 相對地 Leon
的影像隨著光線投射到鏡面同一位置而後反射到 Patrick
的眼睛. 所以他們都可以藉由鏡面看到對方(的影像).


用解用解析幾何來說明一下鏡子的原理吧.

鏡子就像在 yz-平面上的一塊反射區域 R. 一點 (x,y,z) 被位於
 (a,b,c) 的觀察者看到, 是 (x,y,z) 經 R 反射經過 (a,b,c) (觀察
者的眼睛). 具體地說, 點 (x,y,z) 投射到 (0,v,w) 而後反射到
 (a,b,c). 點 (0,v,w) 是鏡面 上一點, 否則 "反射" 不存在, 也就
不會被位於 (a,b,c) 的觀察者看到了.

若 (a,b,c) = (x,y,z), 也就是觀察者照鏡子看自己. 則, 取
    (0,v,w) = (0,b,c) = (0,y,z)

若 (a,b,c) ≠ (x,y,z), 也就是觀察者欲借由位於 yz-平面的鏡子看
到 (x,y,z), 則要知道 (x,y,z) 如何經 (0,v,w) 之反射而到達 (a,b,c)
的.

從 (x,y,z) 到 (0,v,w) 的方向同向量 (-x,v-y,w-z), 從 (0,v,w) 到
(a,b,c) 則順著向量 (a,b-v,c-w) 的方向. 要能由 (a,b,c) 透過
(0,v,w) 的反射看到 (x,y,z), 也就是 (a,b-v,c-w) 的方向正是
(-x,v-y,w-z) 的反射方向.

光線以 (α,β,γ) 方向投射到 yz-平面, 其反射光線的方向是
(-α,β,γ). 所以, 光線從 (x,y,z) 投射到 (0,v,w) 能反射到 (a,b,c),
則
      (a,b-v,c-w) = k(x,v-y,w-z) for some k > 0
則 k = a/x. 也就是 (a,b,c) 與 (x,y,z) 和 yz-平面垂直距離的比.
然後 可以計算出 (0,v,w) 這一反射點:
    v = (b+ky)/(1+k), w = (c+kz)/(1+k)
當 k = 1 (a = x) 時, (v,w) 正是 (b,c) 與 (y,z) 中點位置.

如果這樣算出來的 (0,v,w) 處在鏡子的範圍, 觀察者在 (a,b,c)
就可借由 鏡子看到 (x,y,z). 前者照鏡子能看到頭頂, 鏡子上緣
不低於頭頂到眼睛之間 1/2 處, 本題 Leon 和 Patrick 能互相
看到對方, 以及 Leon 能看到自己, Patrick 看不到, 就是這個
道理.

我仍不明白,要慢慢再思想,是否一個看到,一個看不到.