公比為1 是收斂級數嗎?

一個無窮級數 Σ a_n 收斂的必要條件是 a_n 收斂至 0.

因此, 如果是幾何級數: a_n = a_0 r^n, 收斂的必要條件
是公比 r 的絕對值小於 1, 即 |r| < 1. 當然, 就幾何級數而
言, |r| < 1 也是級數收斂的充分條件.

如果不是幾何級數, 就沒有所謂 "公比" 了.

就一般正項級數, 有所謂 "極限比值檢斂法", 是考慮級數
的前後項比值. 
設 Σ a_n 之一般項 a_n 都是正值, 考慮
    r_n = a_(n+1)/a_n
若 r_n → r < 1, 則級數收斂; 若 r > 1, 則級數發散.
若比值之極限值 r = 1, 則不能判定.

在 r = lim r_n = 1 的情形, 
例如 a_n = 1/n, Σ 1/n 是發散的;
而 a_n = 1/n^2, 即 Σ 1/n^2 則是收斂的.