(1)請問下如何單從Cⁿₘ公式證明其值必為整數 (2)還有如何證明在m不是1或0的時候，其值必為m的倍數?

當 m < n, n, m 皆是正整數時
C(n,m) = n(n-1)...(n-m+1)/m! = n!/[m!(n-m)!]
    = [m(n-1)!+(n-m)(n-1)!]/[m!(n-m)!]
    = m(n-1)!/[m!(n-m)!] + (n-m)(n-1)!/[m!(n-m)!]
    = (n-1)!/[(m-1)!(n-m)!] + (n-1)!/[m!(n-m-1)!]
    = C(n-1,m) + C(n-1,m-1)

上列遞迴關係式即使在 m ≧ n 或 m ≦ 0 也很容易驗證是
成立的, 其中 C(n,m) 定義為 0, 當 m > n 或 m < 0.

首先 C(1,k) 對所有非負整數 k 不是 0 就是 1, 是整數.

若 C(n-1,k), 對所有非負整數 k, 都是整數, 則由上列遞
迴關係式可知 C(n,k), 對所有非負整數 k, 都是整數.

因此可知 C(n,m) 是整數.



 (2)還有如何證明在m不是1或0的時候，其值必為m的倍數?

由於原問題組合符號看不到全貌, 不知此題中 m 是什麼.
不過, C(n,m) 既不保證是 n 的倍數, 也不保證是 m 的倍數.
如 C(4,2) = 6 不是 4 的倍數, C(3,2) = 3 不是 2 的倍數.


如果問的不是二項係數, 當本回答作廢.