急！！求解高一數學！?

1.
在題目中，衰變到原質量的「5/4」應為「4/5」之誤。

設衰變到原質量的 4/5 所需時間為 n 個半衰期。
(1/2)ⁿ = 4/5
0.5ⁿ = 0.8
log(0.5ⁿ) = log(0.8)
n log(0.5) = log(0.8)
n = log(0.8)/log(0.5)

衰變到原質量的 4/5 所需時間
= 1600 × [log(0.8)/log(0.5)] 年
= 515 年

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2.
設需操作至少 n 次：

操作 1 次後的濃度 = 90% × (90/100)
操作 2 次後的濃度 = 90% × (90/100)²
操作 3 次後的濃度 = 90% × (90/100)³

操作 n 次後：
90% × (90/100)ⁿ < 10%
90 × 0.9ⁿ < 10
(90 × 0.9ⁿ / 90) < (10 / 90)
0.9ⁿ < 1/9
log(0.9ⁿ) < log(1/9)
n log(0.9) < log(1/9)

因為 log(0.9) < log(1) = 0，所以：
[n log(0.9) / log(0.9)] > [log(1/9)/log(0.9)]
n > 20.85
因為 n 為整數，所以需操作至少 21 次。

答案：(p, q) = (2, 1)

1.放射元素鐳每經一年質量只剩原子量的a倍，其中a為一常數，
已知鐳的半衰期，即質量只剩原質量一半所需的時間為1600年，
求衰變到原質量之5/4所需的時間？
                             ^^^
                             這是 4/5 誤植吧? 哪能越衰變質量越高?

N(t) = N(0) a^t 是 t 年後質量, N(0) 是期初質量 (原質量).

N(1600) = (1/2) N(0)
∴ a^1600 = 1/2
∴ a = e^(-ln(2)/1600)

a^t =  4/5
∴ 4/5 = e^( -t ln(2)/1600)

ln(4/5) = -t ln(2)/1600
t = 1600(ln(5/4)/ln(2))    (ln(5/4) = -ln(4/5))
  = 1600(log(5/4)/log(2))
  = 1600(0.09691/0.301 03)
  ≒ 515(年)


2.
(待問題擺正再說.)