請問圈起來的地方可以說明一下代表的意思嗎?

隱函數微分法.

函數方程式 x^2 + y^2 = 2xy^2, 其中 y = f(x)

兩邊同對 x 微分:
    d/dx(x^2 + y^2) = d/dx(2xy^2)

左邊 = d/dx(x^2) + d/dx(y^2)
        = 2x + 2y dy/dx 
                 (連鎖律: d/dx(y^2) = d/dy(y^2) dy/dx)

右邊 = y^2 d/dx(2x) + 2x (d/dx y^2)   (微分之乘法律)
        = 2 y^2 + 2x (2y(dy/dx))    (y^2 對 x 之微分同前)
        = 2y^2 + 4xy dy/dx

故得
     2x + 2y dy/dx  = 2y^2 + 4xy dy/dx

把有 dy/dx 和沒有 dy/dx 的各項集合在一起:
    2y dy/dx - 4xy dy/dx = 2y^2 - 2x
所以得 (如果 2y - 4xy ≠ 0, 即 y(1-2x) ≠ 0):
    dy/dx = (2y^2-2x)/(2y-4xy) = (y^2-x)/(y-2xy)


按: 上列微分結果適用於 y(1-2x) ≠ 0, 即 y ≠ 0 且 x ≠ 1/2.
由微分等式  2y dy/dx - 4xy dy/dx = 2y^2 - 2x, 當 y = 0
時必須同時有 x = 0. 而由原方程式 (x,y) = (0,0) 符合方程
式, 也就是 (0,0) 有在曲線上, 但在此點隱函數微分法無法
求得 dy/dx.

由原方程式得
    y^2(2x-1) = x^2
解得
    y = ± √[x^2/(2x-1)]
由這結果得兩個結論:
(1) 此曲線只存在於 x=0 及 x > 1/2.
(2) 當 x > 1/2 時, 此曲線可分兩股:
       y = x/√*2x-1)  與 y = -x/√(2x-1).

故: (0,0) 是此方程式曲線的一個 "孤立點".
既為孤立點, 並不存在斜率或導數 dy/dx. 
而 x = 1/2 並不在曲線範圍, 因此隱函數微分法並沒有少
得到什麼.

其實, 在進行隱函數微分之前, 就應先儘可能瞭解方程式
所代表的曲線範圍. 由  
      y^2(2x-1) = x^2
很容易看出曲線定義範圍是 x 在 {0}∪(1/2,∞). 所以最後
     dy/dx =  (y^2-x)/(y-2xy),  x > 1/2
就很自然了.