在長20公分、寬15公分的長方形鐵板的四個角落，各減去一個大小完全相同的正方形（如圖），然後將此鐵板組合成一個長、寬、高都是整數的無蓋長方形容器（鐵板厚度忽略不計），求容器最大的容積是幾立方公分？

設高 h 公分, 則容器長 20-2h 公分, 寬 15-2h 公分,
容積 V(h) = h(20-2h)(15-2h) 立方公分.

因 2h < 15, 所以 h 只可能是 7 以下正整數.

直接計算:
    V(1) = 1 × 18 × 13 = 234
    V(2) = 2 × 16 × 11 = 352
    V(3) = 3 × 14 × 9 = 378
    V(4) = 4 × 12 × 7 = 336
    V(5) = 5 × １０ × 5 = 250
    V(6) = 6 × 8 × 3 = 144
    V(7) = 7 × 6 × 1 = 42
所以, 最大容積是 378立方公分, 高3公分時.

另法:
考慮增加高度對容積的影響:
    V(h+1)-V(h)
        = (h+1)(18-2h)(13-2h) - h(20-2h)(15-2h)
        = h[(18-2h)(13-2h)-(20-2h)(15-2h)] + (18-2h)(13-2h)
        = h[(234-62h+4h^2)-(300-70h+4h^2)]+(234-62h+4h^2)
        = h(-66+8h) + (234-62h+4h^2)
        = 12h^2 - 128h +234
        = 12(h-16/3)^2 - 322/3
故 
   1 ≦ h < (32-√322)/6 時 V(h+1) > V(h);
    (32-√322)/6 < h  ≦ 6 時 V(h+12) < V(h)
也就是 h = 1, 2 時增加 h 可增加容積, h ≧ 3 則相反.
所以最大容積發生在 h = 3, V(3) = 378立方公分.

若可用微積分, 則可利用微分法找出 
    V(h) = h(20-2h)(15-2h) ,  0 < h < 15/2
之最高點. 因 h 是整數, 比較其左右最近整數 h 值所對應
V(h) 之值即得解.
按:
    V'(h) = (300h-70h^2+4h^3)'
             = 12h^2 - 140h + 300
             = 12(h-35/6)^2 - 650/6
故 V(h) 有相對高點在 (35-√325)/6, 相對低點在 15/2 右邊.
或者說, 在 0 < h < 15/2 範圍, V(h) 增至上列相對高點後下
降, 至 h = 15/2 時 V(h) = 0. 因 V(h) 之最高點所在
    (35-√325)/6 ≒ 2.8
故只需比較 V(2) 及 V(3).

將方形長寬定為Xcm

公式會長這樣  (20-2X)*(15-2X)*X=體積

本人比較懶所以用xls算......

容器最小高度為1cm底面積為最大，所以容器體積為13x18x1cm