這個數學題目怎麼解？

(1)
由 D 向 AB 邊、AC邊分別作垂線, 各得垂足 P, Q.
則 ∠PDQ = 120°, DP = DQ.
WLOG, 設 AE < AP, 則 AF > AQ, ∠EDP = ∠FDQ.
由 ASA 得 △EDP 全等於 △FDQ,
所以 PE = EQ,
∴ AE + AF = AP + AQ (定值).

(2)
連 AD.
作 ∠ADP = ∠BAD = 30° 交 AB 邊於 P,
作 ∠ADQ = ∠CAD = 30° 交 AC 邊於 Q.

∠ADE + ∠ADF = 60° 則 ∠AED + ∠AFD = 240°.
但 ∠AED 及 ∠AFD 都在 150° 之下,
故它們也都在 90° 之上.
仍WLOG設 AE < AP, 所以 AF > AQ.

在 AB 邊取 AG = AF.
∠GDP = ∠FDQ = ∠EDP

注意 ∠AED > ∠APD = 120° > ∠APG > 90°.
可證得 EP > PG = QF (參見底下關於三角形角平分線性質)
∴ AE + AF = (AP-EP) + (AQ+QF) < AP+AQ
∴ AE + AF 最大值為 AP+AQ;
最小值發生在 ∠AED 與 ∠AFD 一為 90°, 另一為 150°.


在正三角形邊長是 2 的假設下, AP = 1,
∴ AP + AQ = 2.

若 ∠AED ≒ 90°, ∠AFD ≒ 150°, 即
AE ≒ 3/2, AF ≒ 0.

在考慮 ∠AED 與 ∠AFD 時它們不能達到 90° 與 150°,
因為彼時假設 AED 3點, AFD 3點分別構成三角形.
但考慮 AB邊之動點 E 及 AC 邊之動點 F 時可以讓
E 或 F 點與 A 點重合. 也就是說 AE + AF 之最小值
3/2 是可以達到的. 
∴ 3/2 ≦ AE + AF ≦ 2. 


補個三角形角平分線性質證明.
 (符號與上面無關)
設三角形 ABC 其中 ∠B 為鈍角,
AD 為 ∠A 之平分線交 BC 邊於 D.
則 CD >: BD.
[證]
在 AC 邊取 AE = AB, 連 DE.
則 △AED 與 △ABD 全等.
∠CED = ∠EDA + ∠EAD
∠C = ∠BDA - ∠EAD = ∠EDA - ∠EAD
∴ ∠C < ∠CED
△CED 大角對大邊,
∴ CD > ED = BD.