平面上 P 點滿足到正三角形三頂點的距離為 3, 5, 7 ，求正三角形的面積？

以下用解析幾何來解.

把正三角形三個頂點分別放在座標平面之
 (a,0), (-a,0) 及 (0,a√3).
此正三角形邊長為 2a, 面積 a^2√3.

P 點座標 (x,y). 則; 不失一般性, 
x^2 + (y-a√3)^2 = 3^2 = 9,
(x-a)^2 + y^2 = 5^2 = 25,
(x+a)^2 + y^2 = 7^2 = 49.
故:
(x+a)^2 - (x-a)^2 = 49-25 = 24
即: (2x)(2a) = 24, 或 ax = 6, 或 x = 6/a.

又, 由前兩個式子相減, 得
-2ax +a^2 + 2√3 ay -3a^2 = 16
∴ y = (16+2ax+2a^2)/(2√3 a)
      = (14+a^2)/(√3 a)
      = a/√3 +14/(√3 a)
將以 a 表示的 x, y 值代入第一個方程式):
(6/a)^2 + [a/√3+14/(√3a) -√3 a]^2 = 9
解之, 得
    a^2 = (83±45)/8 =  19/4 or 16
取 a 之正根, 即 a = √19/2 或 4.

∴ 此正三角形面積為 (19/4)√3 或 16√3.