1.兩個三邊長成等差數列的直角三角形是否相似? 2.兩個三邊長成等差數列,且其中一角為120°的三角形是否相似?

1, 
直角三角形設邊長 a > b > c 成等差, 則 
      a - t = b = c + t
所以
       (b+t)^2 = b^2 + (b-t)^2
化簡, 解得 t = b/4.
所以, 直角三角形三邊長成等差, 則此三邊長比例必是
    a : b : c = 5 : 4 : 3
由正弦定律, 其三個角固定.
∴ 兩個三邊長成等差數列的直角三角形相似.

2.
仍令三邊長為 b+t, b, b-t.
由餘弦定律,
    (b+t)^2 = b^2 + (b-t)^2 -2b(b-t)cos120°
∴ 2bt = b^2 - 2bt + b^2 - bt  (∵ cos120° = -1/2)
化簡, 解得 t = 2b/5.

所以鈍角120°之三角形其三邊長成等差, 則此三邊長比例是
    a : b : c = 7 : 5 : 3
再次由正弦定律 a : b : c = sinA : sinB : sinC, 知其三個角固定.

所以:
   兩個鈍角120°, 三邊長成等差數列的三角形相似.


一般化, 角A 固定, 邊長等差. 
令邊長 a = b+t, b, c = b-t.
則
    (b+t)^2 = b^2 + (b-t)^2 - 2b(b-t)cosA
即
    b^2+2bt+t^2 = b^2 + b^2-2bt+t^2 - (b^2-bt)(2cosA)
化簡, 得
     bt(4-2cosA) = b^2(1-2cosA)
故
    t = b(1-2cosA)/(4-2cosA)
只要 cosA ≠ 1/2 (∠A ≠ 60°), 則 t 為 b 之一定成數, 所以
邊長比例 a : b : c 固定, 因此三個角也固定.

如果 ∠A = 60°, 則 t = 0. 也就是說: 只有正三角形的邊長
才符合 "等差", 但此時其實三邊長相等. 當然, 所有正三角
形都相似.