點 P 到一單位圓圓心距離為 3，P 到該單位圓內接正三角形三頂點距離分別為 a、b、c，則 a^2 + b^2 + c^2 為一定數，此定數為何？

假設 "a^2 + b^2 + c^2 為一定數" 為真.
(用複數運算不難驗證得此敘述為真, 
  且定值為 3(OP)^2 + 3.)

設 O 為圓心, 三角形頂點為 A, B, C.
P 在 OA 線段之延長線上.

則 AP = OP - OA = 3-1 = 2.

設 A 至 BC 邊之垂足為 D.
則 OD = 1/2, BD = CD = √3/2,
PD = OP + OD = 7/2,
PB = PC = √(PD^2+BD^2) = √13

∴ (PA)^2 + (PB)^2 + (PC)^2 
    = a^2 + b^2 + c^2
    = 2^2 +2(13) = 30


考慮一正 n 邊形之外接圓圓心 O, 半徑 r.
P 點與 O 點距離 p.
則 P 點至正 n 邊形各頂點距離平方和為定數
n(p^2+r^2)

把整個圖放到複數平面, O 為原點, P 是複數平面
上某個複數 z, |z| = p. 正 n 邊形是某個複數的
n 個 n 次方根在複數平面上表示的點為頂點所構成
的凸 n 邊形. 各頂點是 w_k, k=0,1,...,n-1.

用 w* 代表複數 w 的共軛, 則所求為
Σ{k=0～n-1} |z-w_k|^2
    = Σ{k=0～n-1} (z-w_k)(z-w_k)*
    = Σ{k=0～n-1} (z-w_k)(z*-w_k*)
    = Σ (z z* - w_k z* - z w_k* + w_k w_k*)
    = Σ (|z|^2 - z* w_k - z w_k* +|w_k|^2)
    = n |z|^2 + Σ|w_k|^2 - z*Σw_k - z(Σw_k)*
因 Σ{k=0～n-1} w_k = 0, |w_k| = r, |z| = p,
故得
Σ{k=0～n-1} |z-w_k|^2 = n p^2 + n r^2
    = n(p^2+r^2)