想問螢光筆的Zk那一行不知道怎麼寫出來的?

如果只想知道兩三角函數式和為 0 一節, 可直接跳到
最後兩段.

以下做較詳細的說明, 不專就這一題, 而是較一般的
解說: 複數的極式及 n 次方根.

複數 z = a + bi, 大小是 |z| = √(a^2+b^2) = r,
其極式表示法是 z = r (cosθ + i sinθ), 0 ≦ θ < 2π.
其中 cosθ = a/r, sinθ = b/r.

用極式表示, 配合三角函數公式, 易得
   [r (cos(θ) + i sin(θ))]．[s (cos(ω) + i sin(ω))]
       = rs (cos(θ+ω) + i sin(θ+ω))

顯然, 對任何整數 k,
  r (cos(θ+2kπ) +i sin(θ+2kπ)) = z
因此, z 的 n 個 n 次方根可以寫成
  z_k = r^(1/n) [cos((θ+2kπ)/n) + i sin((θ+2kπ)/n)],
         k = 0, 1,..., n-1
都滿足 (z_k)^n = z.

依前面說的極式的乘法,
   z_k = z_0．(cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n))
          = z_0 (cos(2π/n) + i sin(2π/n))^k, k = 1,...,n-1.

注意 z_0, z_1, ..., z_(n-1) 在複數平面上剛好平均
分佈在以 (0,0) 為圓心, 半徑 r^(1/n) 的圓周上. 而
    Σ_{k=0～n-1} z_k
         =  z_0 Σ_{k=0～n-1} (cosψ+i sinψ)^k
其中 ψ = 2π/n, (cosψ+i sinψ)^n = 1.
    Σ_{k=0～n-1} (cosψ+i sinψ)^k
        = [1-(cosψ+i sinψ)^n]/[1-(cosψ+i sinψ)]
        = 0
所以, Σ_{k=0～n-1} z_k = 0, 這表示這 n 個 n 次方
根的 x 座標加總, y 座標加總, 都分別等於 0. 直接
寫成三角函數級數和就是
    Σ_{k=0～n-1} cos((θ+2kπ)/n) = 0
    Σ_{k=0～n-1} sin((θ+2kπ)/n) = 0

當然我們可以宣接考慮三角函數級數和:
   Σ_{k=0～n-1} cos(α+kβ), 
   Σ_{k=0～n-1} sin(α+kβ).

Σ_{k=0～n-1} cos(α+kβ)
   = (1/sin(β/2)) Σ_{k=0～n-1} sin(β/2)cos(α+kβ)
   = (1/sin(β/2)) Σ {sin(α+(k+1/2)β)-sin(α+(k-1/2)β)}/2
   = [1/(2sin(β/2))] {sin(α+(n-1/2)β)-sin(α-β/2)}
當 β = 2π/n 時, (n-1/2)β = 2π-π/n = 2π-β/2.
故 sin(α+(n-1/2)β) = sin(α-β/2),
∴ Σ_{k=0～n-1} cos((θ+2kπ)/n) = 0

Σ_{k=0～n-1} sin(α+kβ)
   = (1/sin(β/2)) Σ_{k=0～n-1} sin(β/2)sin(α+kβ)
   = (1/sin(β/2)) Σ {cos(α+(k-1/2)β)-cos(α+(k+1/2)β)}/2
   = [1/(2sin(β/2))] {cos(α-β/2)-cos(α+(n-1/2)β)}
同樣, 當 β = 2π/n 時得 cos(α-β/2) = cos(α+(n-1/2)β),
∴  Σ_{k=0～n-1} sin((θ+2kπ)/n) = 0.