紅色塗滿箭頭變成抖抖線那邊是怎麼變的?

圖片中計算我懶得看, 且重新講解如下:
f(x) 在某處 x = a 可微分, 必須:
(1) f(x) 在 x = a 處連續;
(2) lim_{x→a} (f(x)-f(a))/(x-a)  存在.

此處因 f(x) 在 x = 1 左右定義式不同, 因此考慮上述兩
性質時,  必須從兩邊考慮. 並且記住:
   lim_{x→a} g(x) 存在, 若且唯若
       其左右極限都存在並且相等.

(1) 連續性: 這一步有時可以省略, 而由下一步直接滿足.

f(1) = 1^2 + 1 = 2
左極限: lim_{x→1-} f(x) = lim_{x→1-} (x^2+1) = 2 = f(1).
右極限: 
   im_{x→1+} f(x) = lim_{x→1+} (ax+b)/(x+1) = (a+b)/2.
∴ f(x) 在 x = 1  連續若且唯若 (a+b)/2 = 2, 即 a+b = 4.

(2) 可微分:

左邊: 
   lim_{x→1-} (f(x)-f(1))/(x-1) 
       = lim_{x→1-} [(x^2+1)-2]/(x-1)
       = lim_{x→1-} (x2-1)/(x-1) = 2
  也可以直接套用
   lim_{x→1-} [(x^2+1)-2]/(x-1) = (d/dx)(x2+1)_{x=1}
        = 2

右邊:
   lim_{x→1+} (f(x)-f(1))/(x-1) 
        = lim_{x→1+} [(ax+b)/(x+1) -2)/(x-1)
        = lim_{x→1+} [(ax+b)/(x+1) -2(x+1)/(x+1)]/(x-1)
        = lim_{x→1+} [(ax+b)-(2(x+1)]/[(x+1)(x-1)]
        = lim_{x→1+} [(a-2)x+(b-2)]/[(x+1)(x-1)]
        = lim_{x→1+} [(a-2)x+(b-2)]/(x-1) lim_{x→1+} 1/(x+1)
後半部極限是 1/2, 所以前半部極限必須是 4 最後才會得到
極限值是 2 而與前面的左極限值一致.

因 [(a-2)x+(b-2)]/(x-1)  分子分母都是一次式, 而分母趨近 0,
故必須分子有 4(x-1) 形式才可能在 x→1+ 時得極限值 4.
故:
   (a-2)x + (b-2) ≡ 4(x-1)
∴ a-2 = 4, b-2 = -4
∴ a = 6, b = -2, 這也自動滿足了 (1) 的要求:  a + b = 4.