方程式xsinx=3/2 在-π<x<π 内有多少個實數解？ 要步驟 答案:4個?

f(x) = x sin(x) 是偶函數, 對所有 x, f(-x) = f(x) .
又因 f(0) = 0. 所以, 只要知道在 0 < x < π 
f(x) = 3/2 有幾個根, 就知道在 -π < x < π 方
程式有多少(實數)解.

f'(x) = sin(x)+x cos(x).
在區間 (0,π/2], f'(x) 顯然是正的;

在區間 (π/2,π), sin(x), cos(x) 都下降, 但
cos(x) < 0, 因此 -x cos(x) 上升.
又 f'(π/2) = 1 > 0 而 f(x) → -π < 0 當 x→ π-.
所以, 恰有一 x 使 f'(x) = 0.
設 f'(a) = 0, 0 < x < π, 則根據以上對 f'(x) 的分析, 
0 < x < a 時 f'(x) > 0, 而 
a < x < π 時 f'(x) < 0.
因此,
0 < x < a 時 f(x) 上升(遞增), 而
a < x < π 時 f(x) 下降(遞減).
 
f(π/2) = π/2 > 3/2,
f(0) = 0, 且
x → π- 則 f(x) → 0.
又由前面的分析知 f(x) 由 0 上升至最大值
f(a) = a sin(a) > f(π/2) > 3/2,
然後 f(x) 再下降至 → 0 (當 x → π-),
所以, 依中間值定理, 在 (0,a) 與 (a,π) 兩區間內,
f(x) = 3/2 都有解; 而由 f(x) 的升降變化, 在兩區
間內其解都唯一.

故: f(x) = 3/2 在 (0,π) 恰有 2 解; 所以在 (-π,π)
恰有 4 解.