原問題:
在FACEBOOK上隨機加1000人好友，在2020年(366天)中每天都收到至少一個好友生日通知的概率為多少?(會有機率加到同一天生日的人)
依我理解轉化題目:
手遊課金1000抽，圖鑑有366個角色，1000抽後每個角色至少有一個的機率是多少?
(每次抽都會有機率重複得到已有角色)
注:
如果覺得我轉化的題目看不懂/理解錯了請看原題目
只列式就可以，但希望能解釋一下為什麼這麼列以及答案。
謝謝
中學概率數學問題 在線等?
2020-01-09 10:11 am
回答 (1)
2020-01-10 12:57 am
需要使用排容原理 (inclusion-exclusion principle)。
定義 A_i 為 {一千人中都沒有人在第 i 日生日} 這事件
P(366日都有人生日)
= P(not A₁ ∩ not A₂ ∩ ... ∩ not A₃₆₆)
= 1 - P(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A₃₆₆)
= 1 - {P(A₁) + P(A₂) + ... + P(A₃₆₆) - P(A₁ ∩ A₂) - ... - P(A₃₆₅ ∩ A₃₆₆) + ...}
= 1 - 366 × P(A₁) + C(366,2) × P(A₁ ∩ A₂) - ... - C(366,365) × P(A₁ ∩ A₂ ∩ ... ∩ A₃₆₅) + 0
= 1 - 366 × (365/366)¹⁰⁰⁰ + C(366,2) × (364/366)¹⁰⁰⁰ - ... - C(366,365) × (1/366)¹⁰⁰⁰
= ∑[k = 0 to 365] (-1)^k C(366,k) [(366 - k)/366]¹⁰⁰⁰
定義 A_i 為 {一千人中都沒有人在第 i 日生日} 這事件
P(366日都有人生日)
= P(not A₁ ∩ not A₂ ∩ ... ∩ not A₃₆₆)
= 1 - P(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A₃₆₆)
= 1 - {P(A₁) + P(A₂) + ... + P(A₃₆₆) - P(A₁ ∩ A₂) - ... - P(A₃₆₅ ∩ A₃₆₆) + ...}
= 1 - 366 × P(A₁) + C(366,2) × P(A₁ ∩ A₂) - ... - C(366,365) × P(A₁ ∩ A₂ ∩ ... ∩ A₃₆₅) + 0
= 1 - 366 × (365/366)¹⁰⁰⁰ + C(366,2) × (364/366)¹⁰⁰⁰ - ... - C(366,365) × (1/366)¹⁰⁰⁰
= ∑[k = 0 to 365] (-1)^k C(366,k) [(366 - k)/366]¹⁰⁰⁰
收錄日期: 2021-05-01 10:42:25
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20200109021118AAWblPQ