x^y = y^x?

原解放底下, 看較簡解法吧! 
(原解太煩瑣, 以下由  知足常樂  提示的解法較簡捷.)


x^y = y^x 在 x > 0, y > 0 情況下相當於 x^(1/x) = y^(1/y).
也就是說, 原問題相當於找 a≠b 滿足 f(a) = f(b), 其中 f 定
義為 f(x) = x^(1/x), x > 0.

取對數 g(x) = ln(f(x)) = ln(x)/x.

由於 g'(x) = (1-ln(x))/x^2,
當 0 < x < e 時 g'(x) > 0, 即 g(x) 上升;
當 x > e 時 g'(x) < 0, 故 g(x) 下降.

整個 g(x) 函數走向是這樣的:
當 0 < x < 1 時, g(x) 從下方無界上升至 g(1) = 0;
當 1 ≦ x ≦ e 時, g(x) 從 0 上升到 1/e;
當 x > e 時, g(x) 下降至趨近 0.

因此, 答案很顯然, 當 1 < x < e 或 x > e 時, 可在相對另
一邊找到唯一的 y, 使 g(y) = g(x), 也就是 f(y) = f(x). 


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以下原解留著只是做為蠢笨思考的一個見證.
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x^y = y^x 首先假設 x > 0, y > 0 (x^y 與 y^x 如果要求
在 R 有意義, 則需如此限定).

兩邊取對數, 變成等價方程式:
    y log(x) = x log(y)
如果 log(x) = 0, 則 x = 1, 故 log(y) = 0, y=1.
反之, 假設 y = 1 則 x = 1.
也就是說:  x = 1  <==> y = 1.

在 x = 1, y = 1 之外,  y/x = log(y)/log(x)
設 y = tx, 則 t = (log(t)+log(x))/log(x) = 1 + log(t)/log(x)
顯然 t = 1 即 y = x 是一解(此解包含先前的 x = 1 = y).

是否有其他解呢? 

注意我們先前並未指明對數的底是多少, 而方程式的解
與對數的底是無關的. 如以 e 為底, 則得
   t = 1 + ln(t)/ln(x) 或即 F(t ; x) = t - 1 - ln(t)/ln(x) = 0
固定 x, F"(t) = 1/(t^2 ln(x)), 故
  0 < x < 1, 則 F(t) 為凹向下的函數 (或稱凸函數).
  x > 1 則 F(t) 為凹向上的函數 (或稱凹函數).

又, F'(t) = 1 - 1/(t ln(x)).

當 0 < x < 1, 則在 t > 0 時 F'(t) 恆正, 所以 F(t) 為嚴格
增函數, 除 t = 1 外, F(t) = 0 無其他解.

當 x > 1 時, t = 1/ln(x) 為 F(t) 之最小值. 此時
   F(1/ln(x)) = 1/ln(x) - 1 - ln(1/ln(x))/ln(x)
                   = (1 - ln(x) + ln(ln(x)))/ln(x) = g(x)/ln(x)
其中 g(x) = 1 -ln(x) + ln(ln(x)) ≦ 0 for x > 1.
除 g(e) = 0 外均得 g(x) < 0.
故 F(t) 之最小值為負值 (除 x = e 外).

又 x > 1 時, F(t) = t - 1 - ln(t)/ln(x), t > 0, 當 t 趨於 ∞,
或從右邊逼近 0 時均無上界. 加上前面的結論 (F 凹面
向上,, 且 x≠ 1 時 F(t) 最小值為負值) 可知 F(t) = 0 除
t=1 外還有一正根:
  當 1 < x < e 時 t 的另一解大於 1 ( t > 1/ln(x) > 1);
  當 x > e 時 t 的另一解小於 1 (0 < t < 1/ln(x) < 1).
但此根只能以數值法求解.

結論:
0 < x < 1 或 x = e 時 y = x;
1 < x < e 時, 除 y = x 外, 可找到另一解 y > x.
x > e 時可找到另一解 y < x.

例如:
 x = 2 時, 除 y = 2 之外還有一解 y = 4.
 x = 4 時, 除 y = 4 之外還有一解 y = 2.

x=y便是...................................