設a^2x=√(3+√8)，則(a^3x+a^-3x)/(a^x-a^-x)之值=?

∵3+√8 = 3+2√2 = 1²+2√2+(√2)² = (1+√2)²
∴a²ˣ =√(3+√8) = 1+√2. . . . . . . . . . . . . ①

a³ˣ+a⁻³ˣ　　(aˣ)³ + (1/aˣ)³
---------- = -------------------
aˣ-a⁻ˣ　　　aˣ - 1/aˣ
　　　　　(aˣ + 1/aˣ ) [(aˣ)² - aˣ(1/ aˣ) + (1/ aˣ)²]
　　　　= -------------------------------------------------
　　　　　　　　　aˣ - 1/aˣ
　　　　　(a²ˣ + 1) [a²ˣ - 1 + (1/a²ˣ)]
　　　　= ------------------------------------ 　　　(#)
　　　　　　　　　a²ˣ - 1
　　　　　(2+√2){√2 + [1/(1+√2)]}
　　　　= ------------------------------------ 　　　( 代入① )
　　　　　　　　　√2
　　　　　√2 (√2+1){√2 + [1/(1+√2)]}
　　　　= -----------------------------------------
　　　　　　　　　√2
　　　　= (√2+1){√2 + [1/(1+√2)]}
　　　　= (√2+1)√2 + 1
　　　　= 3+√2
______________________________________________
# 公式《x³+y³ = (x+y)( x²-xy+y²)》

令a^x=k，則 k²=√(3+√8) ⇒ k²=1+√2 ⇒(k²-1)²=2⇒k⁴-k²=k²+1。
則(a^3x+a^-3x)/(a^x-a^-x)
= (k³ + 1/k³)/(k - 1/k)
= (k⁶ + 1)/(k⁴ - k²)
= (k⁶ + 1)/(k² + 1)
= (k⁴ - k² + 1)
= k²+2
= 3+√2