若直線l: y=mx+7 與圓c:x^2+y^2+6x-10y+16=0相交,求m的取值範圍?

解一：

直線L: y = mx + 7 ……. [1]
圓C: x² + y² + 6x - 10y + 16 = 0 …… [2]

將[1]代入[2]中：
x² + (mx + 7)² + 6x - 10(mx + 7) + 16 = 0
x² + m²x² + 14mx + 49 + 6x - 10mx - 70 + 16 = 0
(m² + 1)x² + (4m + 6)x - 5 = 0

L 與 C 相交，以上方程式的判別式 Δ
= b² - 4ac
= (4m + 6)² - 4(m² + 1)(-5)
= 16m² + 48m + 36 + 20m² + 20
= 36m² + 48m + 56
= 9m² + 12m + 14
= (9m² + 12m + 4)
= (3m + 2)² + 10

無論 m 為任何實數，(3m + 2)² = 0
故判別式Δ = (3m + 2)² + 10 ≥ 10 > 0
(m² + 1)x² + (4m + 6)x - 5 = 0 有兩個實數解。
即 L 與 C 相交於兩點。

故 m 為任何實數。

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解二：

C: x² + y² + 6x - 10y + 16 = 0
C: (x² + 6x + 9) + (y² - 10y + 25) = 9 + 25 -16
C: (x + 3)² + (y - 5)² =18
圓心 (-3, 5)，半徑 = √18 = 3√2

將 L: y = mx + 7 改寫成 L: mx - y + 7 = 0

圓心 (-3, 5) 到 L: mx - y + 7 = 0 的距離 d ≤ 3√2
|-3m - 5 + 7| / √(m² + 1) ≤ 3√2
{|-3m + 2| / √(m² + 1)}² ≤ (3√2)²
(-3m + 2)² / (m² + 1) ≤ 18
(-3m + 2)² ≤ 18(m² + 1)
9m² - 12m + 4 ≤ 18m² + 18
9m² + 12m + 14 ≥ 0
(9m² + 12m + 4) + 10 ≥ 0
(3m + 2)² + 10 ≥ 0

無論 m 為任何實數，上式均成立。
故 m 為任何實數。

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解三：

C: x² + y² + 6x - 10y + 16 = 0
C: (x² + 6x + 9) + (y² - 10y + 25) = 9 + 25 -16
C: (x + 3)² + (y - 5)² =18
圓心 (-3, 5)，半徑 = √18

L: y = mx + 7 上，當 x = 0, y = 7
所以 (0, 7) 為 L 上一點。

圓心 (-3, 5) 與 (0,7) 的距離
= √[(-3 - 0)² + [5 - 7]²]
= √13 < √18

由於 L 有些點在圓內，故無論 m 為任何實數，L 必與 圓相交於兩點。
故 m 為任何實數。

若直線l： y=mx+7與圓c：x^2+y^2+6x－10y+16=0相交，求m的取值範圍?
Sol
x^2+y^2+6x－10y+16=0
(x^2+6x+9)+(y^2－10y+25)=9+25－16
(x+3)^2+(y－5)^2=18
圓心(－3，5)，半徑=3√2
y=mx+7
mx－y +7=0
(－3，5)到mx－y+7=0距離d<=3√2
｜3m－5－7｜/√(1+m^2)<=3√2
(3m－12)^2/(1+m^2)<=18
(m－4)^2/(1+m^2)<=2
(m－4)^2<=2(1+m^2)
2(1+m^2) －(m－4)^2>=0
2+2m^2－m^2+8m－16>=0
m^2+8m>=14
m^2+8m+16>=30
(m+4)^2－30>=0
(m+4－√30)(m+4+√30)>=0
－√30－4>=m or m>=－√30+4