設a,b,c為正實數，試證(1+ab+ac)/(1+b+c)^2+(1+bc+ba)/(1+c+a)^2+(1+ca+cb)/(1+a+b)^2>=1，並寫出所有使等式成立的a,b,c取值。?

考慮 (1+ab+ac)/(1+b+c)^2 - a/(a+b+c)
=(1+ak)/(1+k)^2 - a/(a+k) 其中 k = b+c >0
=(a+k+a^2k+ak^2-a-2ak-ak^2)/[(1+k)^2(a+k)]
=(a^2k-2ak+k)/[(1+k)^2(a+k)] = k(a-1)^2/[(1+k)^2(a+k)] >= 0
即(1+ab+ac)/(1+b+c)^2 >= a/(a+b+c)只當a=1時等號成立
同理 (1+bc+ba)/(1+c+a)^2>=b/(a+b+c)只當b=1時等號成立
及(1+ca+cb)/(1+a+b)^2 >=c/(a+b+c)只當c=1時等號成立
於是(1+ab+ac)/(1+b+c)^2 +(1+bc+ba)/(1+c+a)^2 +(1+ca+cb)/(1+a+b)^2 >= (a+b+c)/(a+b+c) = 1
只有當a=b=c=1時等號成立。