已知兩等差數列前n項和的比為(n+3):3n,試證此兩數列無公共項?

已知兩等差數列前n項和的比為(n+3)：3n，試證此兩數列無公共項?
Sol
an：a1，a1+d，a1+2d，a1+3d，…
bn：b1，b1+e，b1+2e，b1+3e，…
S1：T1=a1：b1=(1+3)：3=4：3
4b1=3a1
b1=3a1/4
S2：T2=(2+3)：6=(2a1+d)：(2b1+e)
12a1+6d=10b1+5e
12a1+6d=7.5a1+5e
5e=4.5a1+6d
S3：T3=6Ｌ9=(3a1+3d)：(3b1+3e)
2：3=(a1+d)：(b1+e)
3a1+3d=2b1+2e
30a1+30d=20b1+20e
30a1+30d=15a1+18a1+24d
3a1=6d
a1=2d
an=a1+(n－1)*d
=a1+(n－1)*(a1/2)
=a1+na1/2－a1/2
=na1/2+a1/2
5e=4.5a1+6d
=4.5a1+3a1
=7.5a1
e=1.5a1
bn=b1+(n－1)*e
=0.75a1+(n－1)*(1.5a1)
=1.5na1－0.75a1
設ar=br
ra1/2+a1/2=1.5ra1－0.75a1
2ra1+a1=3ra1－1.5a1
a1<>0
2r+1=3r－1.5
r=2.5 (不為正整數不合)