設n為整數，且3*x^2+(4-2n)*x+(1+n)=0為x的一元二次方程式。已知此方程式的兩根均為整數，則n之值為何?

設n為整數，且3*x^2+(4－2n)*x+(1+n)=0為x的一元二次方程式。已知此方程式的兩根均為整數，則n之值為何?
Sol
設p整數，p>=0
D=(4－2n)^2－4*3*(1+n)=p^2
(4n^2－16n+16)－(12+12n)=p^2
4n^2－28n+4=p^2
4(n^2－7n)=p^2-4
4(n^2－7n+49/4)=p^2－4+49
4(n－7/2)^2=p^2+45
(2n－7)^2=p^2+45
(2n－7-p)*(2n－7+p)=45
2n－7－p<=2n－7+p
So
(2n－7－p)*(2n－7+p)=1*45=3*15=5*9
(1)
2n－7－p=1，2n－7+p=45
4n－14=46
n=15
3x^2－26x+16=0
(3x－2)(x－8)=0
x=2/3 or x=8 (不合)
(2)
2n－7－p=3，2n－7+p=15
4n－14=18
n=8，p=6
3x^2－12n+9=0
x^2－4x－3=0
(x－1)(x－3)=0
x=1 or x=3
(3)
2n－7－p=5，2n－7+p=9
4n－14=14
n=7
3x^2－25x+8=0
(3x－1)(x-8)=0
x=1/3 or x=8 (不合)
綜合(1)，(2)，(3)
n=8