余式定理題，求解謝謝。 若f(x)以(x-1)^2及(x-2)^2除之，余式分別為2x+5,x-3 求1.f(x)除以(x-1)(x-2)的余式？ 2.f(x)除以(x-1)^2(x-2)的余式？

Sol
1.
設f(x)=q(x)(x－1)^2(x－2)^2+a(x－1)^2(x－2)+b(x－1)(x－2)+c(x－1)+d
f(1)=d=2+5=7
f(x)=q(x)(x－1)^2(x－2)^2+a(x－1)^2(x－2)+b(x－1)(x－2)+c(x－1)+7
f(2)=c+7=2－3
c=－8
f(x)=q(x)(x－1)^2(x－2)^2+a(x－1)^2(x－2)+b(x－1)(x－2)－8x+15
f(x)除以(x－1)(x－2)的餘式=－8x+15
2.
f(x)=q(x)(x－1)^2(x－2)^2+a(x－1)^2(x－2)+b(x－1)(x－2)－8x+15
=q(x)(x－1)^2(x－2)^2+a(x－1)^2(x－2)+b(x^2－3x+2)－8x+15
=q(x)(x－1)^2(x－2)^2+a(x－1)^2(x－2)+b(x^2－4x+4)+b(x－2)－8x+15
b(x－2)－8x+15=x－3
b=9
9(x^2－4x+4)+9(x－2)－8x+15
=9x^2－35x+33
f(x)除以(x－1)^2(x－2)的餘式=9x^2－35x+33