高中數學 甲乙兩人猜拳,甲勝率為乙的兩倍,先猜贏2次得270元,甲贏1次後第2次因故無法猜拳,則甲應該得多少元才公平?

Sol
P(甲贏)=P(甲第2次猜贏)+P(甲第2次猜輸，甲第3次猜贏)
=P(甲第2次猜贏)+P(甲第2次猜輸)*p(甲第3次猜贏|甲第2次猜輸)
=(2/3)+(1/3)*(2/3)
=8/9
270*(8/9)=240
or
P(乙贏)=P(乙第2次猜贏)*P(乙第3次猜贏)
=(1/3)*(1/3)=1/9
270*(1/9)=30
270－30=240

(2/3+1/3)^2=(2/3)^2+2(2/3)(1/3)+(1/3)^2 ---甲贏 (4/9), 乙贏(1/9) , 未定 (4/9)
2(2/3)(1/3)(2/3+1/3)=8/27+4/27 ----- 甲贏 (8/27), 乙贏 (4/27)
甲贏機率=4/9+8/27=20/27
乙贏機率=1/9+4/27=7/27
設甲應得 x 元才公平 ----- 兩種勝負期望值相同
270*20/27=x*(2/3)
x= 300(元) ....Ans