若多項式f(x)除以x^2+x+1及X+2之餘式分別為x+1，10 求以(x-2)(x^2+x+1)除以f(x)所得之餘式。 答案的式子是 f(x)=(x^2+x+1)(x-2)+a(x^2+x+1)+x+1 提問 為什麼式子後面是x+1?

Sol
若多項式f(x)除以x^2+x+1及x-2之餘式分別為x+1，10 求以(x-2)(x^2+x+1)除以f(x)所得之餘式。 答案的式子是 f(x)=(x^2+x+1)(x-2)+a(x^2+x+1)+x+1 提問 為什麼式子後面是x+1?
設f(x)=p(x)(x－2)(x^2+x+1)+a(x^2+x+1)+bx+1
f(x)除以x^2+x+1之餘式分別為x+1
So
bx+1=x+1
原假設有瑕疵

設 f(x)=(x^2+x+1)(x-2)Q(x)+a(x^2+x+1)+x+1
說明:
題目要求 f(x) 除以 (x-2)(x^2+x+1) 所得之餘式 (原題目寫相反了)
已知 f(x) 除以 x^2+x+1及X-2之餘式分別為 x+1，10 (原題目x-2寫成x+2了)
所以把 f(x) 寫成 (x^2+x+1) 的 降冪式,
因為除以 x^2+x+1 餘式為 x+1 , 所以假設式子後面是 x+1
f(x) 除以 x+2 餘式為 10, 可得到 f(2)=0+a(4+2+1)+2+1=7a+3=10 ....(1)
解 (1) 得 a=1
所以 f(x)=(x^2+x+1)(x-2)Q(x)+(x^2+x+1)+x+1
= =(x^2+x+1)(x-2)Q(x)+x^2+2x+2

Ans: x^2+2x+2