X>=Y>=Z>= -1 ( >=是大於等於的意思),且X+3Y-2Z=5,求3X-2Y+Z之最大值,此時X,Y,Z=?

3X-2Y+Z
= 3(X+3Y-2Z)-11Y+7Z
= 15 - 11Y + 7Z
= 15 - 11(Y-Z) -4Z
Y-Z>=0, Z>=-1
當 Y=Z 且 Z=-1 (Y=Z=-1, X=6)時有最大值 19

由X+3Y-2Z=5 得 X=5-3Y+2Z ,
則 3X-2Y+Z = 3(5-3Y+2Z) -2Y+Z
= 15-11Y+7Z
<= 15-11Y+7Y = 15-4Y <= 15-4(-1) =19,上式等號當且僅當 Y=Z=-1 時成立, 此時 X=6 。

別解:
令Y=Z+a , X=Z+a+b , 則a,b>=0, 有
X+3Y-2Z = Z+a+b + 3Z+3a - 2Z
= 2Z+4a+b = 5 ,
取 Z=-1, a=0 得b最大值=7
而3X-2Y+Z = 3Z+3a+3b -2Z-2a +Z
= 2Z+a+3b
= 2Z+4a+b -3a +2b
= 5 -3a +2b
取a=0, b=7 得 3X-2Y+Z 最大值=19。
此時 Z=-1, Y=-1, X=6。