Prove that: cos5A = 16cos^5 A - 20cos^3 A +5cosA?

Trigonometric identities used :
cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ
cos2α = cos²α - sin²α
sin2α = 2 sinα cosα
cos3α = 4 cos³α - 3 cosα
sin3α = - 4 sin³α + 3 sinα
sin²α = 1 - cos²α

L.H.S.
= cos5A
= cos(2A + 3A)
= cos2A cos3A - sin2A sin3A
= (cos²A - sin²A)(4cos³A - 3 cosA) - 2 sinA cosA (- 4 sin³A + 3 sinA)
= cos²A (4cos³A - 3 cosA) - sin²A (4 cos³A - 3 cosA) + 8 cosA sin⁴A - 6 cosA sin²A
= 4 cos⁵A - 3 cos³A - 4 cos³A sin²A + 3 cosA sin²A + 8 cosA sin⁴A - 6 cosA sin²A
= 4 cos⁵A - 3 cos³A - 4 cos³A (1 - cos²A) + 3 cosA (1 - cos²A) + 8 cosA (1 - cos²A)² - 6 cosA (1 - cos²A)
= 4 cos⁵A - 3 cos³A - 4 cos³A + 4cos⁵A + 3 cosA - 3 cos³A + 8 cosA (1 - 2 cos²A + cos⁴A) - 6 cosA + 6 cos³A
= 4 cos⁵A - 3 cos³A - 4 cos³A + 4cos⁵A + 3 cosA - 3 cos³A + 8 cosA - 16 cos³A + 8 cos⁵A - 6 cosA + 6 cos³A
= (4 cos⁵A + 4 cos⁵A + 8 cos⁵A) + (- 3 cos³A - 4 cos³A - 3 cos³A - 16 cos³A + 6 cos³A) + (3 cosA + 8 cosA - 6 cosA)
= 16 cos⁵A - 20 cos³A + 5 cosA
= R.H.S.

Hence, cos5A = 16 cos⁵A - 20 cos³A + 5 cosA

Answer

cos5A = cos(3A+2A) use addition formula to expand
then use cos(3A) = cos(A+2A) also expanding with addition formula
then use cos(2A) =2cos²A - 1.
you still have to worry about sines that occur

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