若一箏形的兩對角線分別為10cm15cm且其中一條對角線被另一對角線分成2：3的兩段則此箏形的面積為?此箏形的周長為?坐標平面上菱形ABCD中A(5，0)丶B(7，4)丶C(5，8)若直線L通過原點(0，0)且平分菱形ABCD的面積求D點的坐標？直線L的方程式?

1.
箏形的特徵為兩條對角線互相分割, 且較短的對角線會被分割成等長.
因此, 較短的對角線 10 cm 會被分割成 5 cm , 5 cm .
較短的對角線 15 cm 依照題意, 會被分割成 2：3 的兩段, 即 6 cm , 9 cm .
箏形的面積 = (1/2)10*6 + (1/2)10*9 = 75
箏形的周長 = 2[ √( 62 + 52 ) + √( 92 + 52 ) ] = 2( √61 + √106 )

Ans: 箏形的面積為 75 平方公分, 周長為 2( √61 + √106 ) 公分.

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2.
因為 AC 垂直於 x 軸, 因此 BD 必垂直於 y 軸,
故可設 D 點座標為 ( d , 4 )

菱形中心點 = AC中點 = BD中點
( 5 , 4 ) = ( (7+d)/2 , 4 )
d = 3
故 D 點座標為 ( 3 , 4 )

設直線 EF 將菱形ABCD 面積平分, 其中 E 在 AD 線段上, F 在 BC 線段上.
由對稱性可知, 存在常數 k 使得 :
AE = CF = k
又 菱形ABCD各邊長 = AB = √( 2² + 4² ) = 2√5
因此 BF = DE = 2√5 - k

AD向量 = BC向量 = ( - 2 , 4 )
AD單位向量 = BC單位向量 = ( - 2/(2√5) , 4/(2√5) ) = ( - 1/√5 , 2/√5 ) = ( - 0.2√5 , 0.4√5 )

令 u = ( - 0.2√5 , 0.4√5 )
又 E 在 AD 線段上, F 在 BC 線段上.
因此 AD單位向量 = AE單位向量 , BC單位向量 = BF單位向量
即 AE單位向量 = BF單位向量 = u

E 點座標
= A點座標 + AE向量
= ( 5 , 0 ) + (AE長度)*(AE單位向量)
= ( 5 , 0 ) + ku
= ( 5 , 0 ) + k( - 0.2√5 , 0.4√5 )
= ( 5 - 0.2k√5 , 0.4k√5 )

F 點座標
= B點座標 + BF向量
= ( 7 , 4 ) + (BF長度)*(BF單位向量)
= ( 7 , 4 ) + ( 2√5 - k )u
= ( 7 , 4 ) + ( 2√5 - k )( - 0.2√5 , 0.4√5 )
= ( 7 - 2 + 0.2k√5 , 4 + 4 - 0.4k√5 )
= ( 5 + 0.2k√5 , 8 - 0.4k√5 )

又 L 通過 EF , 因此 O, E, F 三點共線, 即 :
OE斜率 = EF斜率
0.4k√5 / ( 5 - 0.2k√5 ) = ( 8 - 0.8k√5 ) / ( 0.4k√5 )
0.8k² = 40 - 5.6k√5 + 0.8k²
k = 40/( 5.6√5 ) = ( 10 / 7 )√5

0.2k√5 = 0.2* ( 10 / 7 )√5 * √5 = 10 / 7
0.4k√5 = 2 * 10 / 7 = 20 / 7
可計算得 :
E = ( 25/7 , 20/7 )
L 之斜率 = OE斜率 = 20/7 / (25/7 ) = 0.8
故直線 L 之方程式為 y = 0.8x

Ans: D 點座標為 ( 3 , 4 ) , 直線 L 之方程式為 y = 0.8x