工程數學線性獨立&相關問題?

[匿名]

2017-04-30 9:49 pm

兩函數(sinx)^2 , cos(2x) ，cos(2x)=(cosx)^2-(sinx)^2是線性相關，但將(sinx)^2轉成(1-cos(2x))/2與cos(2x)做Wronskian行列式=-sin(2x) ≠0 依據Wronskian定義行列式≠0就為獨立，那為何還是線性相關？

回答 (1)

Lopez

2017-05-01 3:24 pm

✔ 最佳答案

你在計算 Wronskian 的部份是正確的,
因此 sin²x 與 cos 2x 確實是線性獨立.

其次, 回到線性獨立的原始定義, 證明如下:

claim : 兩函數 sin²x 與 cos 2x 在區間 ( - ∞ , ∞ ) 中, 為線性獨立.
pf :
令 c1*sin²x + c2*cos 2x = 0
c1*sin²x + c2*( cos²x - sin²x ) = 0
( c1 - c2 )sin²x + c2*cos²x = 0 ..... (1式)
因為 sin²x ≧ 0 , cos²x ≧ 0 , 且無 x 可滿足 sin²x = cos²x = 0 ,
故滿足 (1式) 的解為 :
c1 - c2 = 0 且 c2 = 0
即 c1 = c2 = 0
因此, 這兩個函數在區間 ( - ∞ , ∞ ) 中線性獨立.
Q.E.D.

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