假設n為自然數且2^4+2^7+2^n為完全平方數,試求所有滿足上述條件的所有可能的n值為何?(請詳述理由)麻煩高手幫解一下,感謝!!?

Sol
p^2=2^4+2^7+2^n，p>7
p^2=16+128+2^n
p^2=144+2^n
144=p^2－2^n
144=[p－2^(n/2)]*[p+2^(n/2)]
144=(2^4)*(3^2)
有(4+1)*(2+1)=15個正因數
144=1*144=2*72=3*48=4*36=6*24=8*18=9*16=12*12
(1)
p－2^(n/2)=1，p+2^(n/2)=144
2*2^(n/2)=143(不合)
(2)
p－2^(n/2)=2，p+2^(n/2)=72
2*2^(n/2)=70(不合)
(3)
p－2^(n/2)=3，p+2^(n/2)=48
2*2^(n/2)=45(不合)
(4)
p－2^(n/2)=4，p+2^(n/2)=36
2*2^(n/2)=32
n=8
(5)
p－2^(n/2)=6，p+2^(n/2)=24
2*2^(n/2)=18(不合)
(6)
p－2^(n/2)=8，p+2^(n/2)=18
2*2^(n/2)=10(不合)
(7)
p－2^(n/2)=9，p+2^(n/2)=16
2*2^(n/2)=7(不合)
(8)
p－2^(n/2)=12，p+2^(n/2)=12
2*2^(n/2)=0(不合)
綜合(1)至(8)
n=8

2^4+2^7+2^n=2^n+2*(2^4)(2^2)+(2^2)^2

2^n=(2^4)^2=2^8

n=8