求數學高手請教，感激不盡?

alfred

2017-04-18 3:03 pm

X 是 random variable.
E[X] 是expected value of X.

(a)如果E[X] = 3 和 E[X^2] = 9.
如何尋找 E[X^3] ?
(b)設 X 是個 exponential random variable.
它的 parameter 是 2.
如何尋找 E[(X + 1)^2] ?

回答 (1)

老怪物

2017-04-20 12:45 pm

✔ 最佳答案

(a) E[X] = 3, E[X^2] = 9, Var(X) =E[X^2]-(E[X])^2 = 0
也就是說 X = 3 with probability 1, 因此, E[X^k] = 3^k,
所以 E[X^3] = 27

如果不是 E[X^2] = (E[X])^2, 即 Var(X) = 0, 一般由
E[X] 及 E[X^2] 無法求得 E[X^3].

(b) 如果 X 是 exponential random variable,
可以直接積分求得 E[(X+1)^2], 或利用
E[(X+1)^2] = E[X^2] +2E[X] + 1 i求得.

至於說 parameter = 2, 這有兩個可能 (不同作者習慣不同).
一是 E[X] = 2, p.d.f. 為 (1/2)e^{-x/2}; 另一為
E[X] = 1/2, p.d.f. 為 2e^{-2x}.

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