1+1=2,why?
回答 (3)
2017-04-15 10:08 am
最佳解答: 1+1=2。。。(1+1)-1=2-1。。。1=1成立
1+1>2。。。(1+1)-1>2-1。。。1>1不成立
1+1<2。。。(1+1)-1<2-1。。。1<1不成立
1+1=2
以後１＋１為什麼會等於２ 大學會有證明 單單一個證明可以讓你抄到手軟
不要小看這個公式，1+1=2登上科學界‘最偉大公式’之一。
有不少人都可能曾經問過"為何1+1=2？"這個看似多餘(!?)的問題。現在我嘗試向有興趣的網友簡單介紹一下怎樣在公理集合論的框架內証明 "1+1=2& quot; 這句對絕大多數人來說都"顛撲不破"的數學述句。首先，大家要知道在集合論的脈絡中我們討論的對象是各式各樣的集合（或類 (class)，它們和集合的分別在此不贅），故此我們經常碰到的自然數在這裡也是以集合（或類）來定義。例如我們可用以下的方式界定0，1和2(eg. qv. Quine, Mathematical Logic, Revised Ed., Ch. 6, §43-44)：
0 := {x: x ={y: ~(y = y)}}
1 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε0)}
2 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε1)}
〔比如說，如果我們從某個屬於１這個類的分子拿去一個元素的話，那麼該分子便會變成0的分子。換言之，１就是由所有只有一個元素的類組成的類。〕
現在我們一般採用主要由 von Neumann 引入的方法來界定自然數。例如：
0:= Λ, 1:= {Λ} = {0} =0∪{0},
2:= {Λ,{Λ}} = {0,1} = 1∪{1}
[Λ為空集]
一般來說，如果我們已經構作集n, 那麼它的後繼元(successor) n* 就界定為n∪{n}。
在一般的集合論公理系統中（如ZFC）中有一條公理保證這個構作過程能不斷地延續下去，並且所有由這構作方法得到的集合能構成一個集合，這條公理稱為無窮公理(Axiom of Infinity)(當然我們假定了其他一些公理（如並集公理）已經建立。
〔注：無窮公理是一些所謂非邏輯的公理。正是這些公理使得以Russell 為代表的邏輯主義學派的某些主張在最嚴格的意義下不能實現。〕
跟我們便可應用以下的定理來定義關於自然數的加法。
定理：命"|N"表示由所有自然數構成的集合，那麼我們可以唯一地定義映射A：|Nｘ|N→|N，使得它滿足以下的條件：
(1)對於|N中任意的元素x，我們有A(x,0) = x ；
(2)對於|N中任意的元素x和y，我們有A(x,y*) = A(x,y)*。
映射A就是我們用來定義加法的映射，我們可以把以上的條件重寫如下：
(1) x+0 = x ；(2) x+y* = (x+y)*。
現在，我們可以証明"1+1 = 2" 如下：
1+1
= 1+0* (因為 1:= 0*)
= (1+0)* (根據條件(2))
= 1* (根據條件(1))
= 2 (因為 2:= 1*)
〔注：嚴格來說我們要援用遞歸定理(Recursion Theorem)來保證以上的構作方法是妥當的，在此不贅。]
1+ 1= 2"可以說是人類引入自然數及有關的運算後"自然"得到的結論。但從十九世紀起數學家開始為建基於實數系統的分析學建立嚴密的邏輯基礎後，人們才真正審視關於自然數的基礎問題。我相信這方面最"經典"的証明應要算是出現在由Russell和Whitehead合著的"Principia Mathematica";;;;;; ;中的那個。
我們可以這樣証明"1+1 = 2"：
首先，可以推知：
αε１<=> (Σx)(α={x})
βε2 <=> (Σx)(Σy)(β={x,y}.&.~(x=y))
ξε1+1 <=> (Σx)(Σy)(β={x}∪{y}.&.~(x=y))
所以對於任意的集合γ，我們有
γε1+1
<=>(Σx)(Σy)(γ={x}∪{y}.&.~(x=y))
<=>(Σx)(Σy)(γ={x,y}.&.~(x=y))
<=> γε2
根據集合論的外延公理(Axiom of Extension)，我們得到1+1 = 2。]
1先瞭解peano 公設：所謂自然數,就是滿足下列條件,
a.一集合N 中,有元素n,及後繼元素n ,n 與n 對應.
b.元素e 必定屬於N 中.
c.元素e 在N 中不為任一元素的後繼元素.
d.N 中的元素,a =b 則a=b.(元素唯一)
e.(歸納公設)S 為N 的子集,e 屬於S,n 屬於S,n 也屬於S.那麼S=N.
N 就是我們說的自然數集合.
其中我們規定e:=1, e :=2, (e ) :=3,.....以此類推.
2. 再來定義加法,
加法( )為一函數,這函數滿足兩個條件
1.( )(n,e)=n 寫成大家熟悉的式子1.n( )e=n
2.( )(n,m )=(( )(n,m)) 2.n( )m =(n( )m)
滿足上面條件的函數( ),我們稱為加法 .( ):=
滿足這兩條件的函數是可以證明存在且唯一：證明如下
因為( )(e,e)=e
e( )e=e
所以1 1=2 得證.
存在：
e, e ,(e ) ,…… 即所有自然數
唯一：
n N " Î ，
(n,e)=n
(n,e )=( (n,e))
(n,e ) )=………
故( )存在且唯一
上述證明翻成白話文如下：
自然數系依加法運算分別是：1，1 ，(1 ) ，……。而這些1 ，（1 ） ，…就用符號2，3，…
表示，所以1 1指的是1後面那一個數字，也就是1 ，自然就是2。
為什麼會有Peano 公設，及定義加法，這起源於十九世紀末，二十世紀初，Hibert，Brouwer，因物理上狹義相對論，及量子論推翻了物理舊基礎，而數學家們因此想證明，數學是有堅固基礎，是不變的真理。所以希望能從邏輯上建立一個完整、嚴密的基礎，於是第一個當然針對自然數系開始，希望能像歐氏幾何一樣，從基本公設，經由邏輯就可以得到完整的自然數系性質，所以歸結出Peano 五個公設（其實後人把它進一步歸結成三個），而羅素與他的老師懷海德合寫<<數學原理>>三大卷，就是做了一部份工作。Hilbert 擬了一連串計畫要把數學的基礎轉化成邏輯，這樣一來，數學家就可以宣稱「數學是真理」。
不幸的是，1929年Godel 23歲時證明了一個定理：
不完全性定理：
如果有一個系統包含算術，而且這一系統的基本假設並不會互相矛盾，那麼這個系統中一定存在一個命題，這一個命題的肯定或否定都無法證明。所以數學並不只是邏輯。當然「1 + 1 = 2」的證明是否很有意義，可以從Godel的定理來看看。
其實數學上來說, 在自然數(natural number)的世界裏, 這是錯的, 很明顯 1 + 1 = 2 就唔會 1 + 1 = 1等不合理的answer
剛剛我才說了, 那是在自然數世界裏的法則. 如果從這裏我們走入另一個世界, 這當然又唔同講法了. 我們先玩一個把戲, 把1 和 2 掉轉, 這樣, 一個新世界就做了出來, 所有法則亦要改寫
現在 2 + 2 = 1, 1 + 1 = 4 了.
當然, 沒有人會這樣做, 除了這樣很好玩之外。
其實, 1,+,2 都只是符號, 它們可以被定義成現有的方式, 也可以被定義為其它意義. 在電子世界裏, 人們為了簡化電路的設計, 把整個電路分成簡單的兩個狀態, 有電(1)和沒電(0), 當然, 為何有電是1沒電是0只是一個大家共用的習慣而己. 由於只有1和0, 所以, 要設計一套為方便電路設計的數學, 邏輯數學便應運而生. 在電子世界裏, 有三個最基本的設計元件, 分別是and gate, or gate 同 not gate.
and gate 有兩個 input, 只有當同時兩個input都是1時, 它的output 才是1, 否則是0.
or gate 有兩個 input, 當其中一邊input都是1時, 它的output 就是1, 否則是0.
not gate 只有一個input, 它的output就是它input的反轉 1->0, 0->1
只有and, or, not gate, 就可以做到現今所有數位電路了。
1+1>2。。。(1+1)-1>2-1。。。1>1不成立
1+1<2。。。(1+1)-1<2-1。。。1<1不成立
1+1=2
以後１＋１為什麼會等於２ 大學會有證明 單單一個證明可以讓你抄到手軟
不要小看這個公式，1+1=2登上科學界‘最偉大公式’之一。
有不少人都可能曾經問過"為何1+1=2？"這個看似多餘(!?)的問題。現在我嘗試向有興趣的網友簡單介紹一下怎樣在公理集合論的框架內証明 "1+1=2& quot; 這句對絕大多數人來說都"顛撲不破"的數學述句。首先，大家要知道在集合論的脈絡中我們討論的對象是各式各樣的集合（或類 (class)，它們和集合的分別在此不贅），故此我們經常碰到的自然數在這裡也是以集合（或類）來定義。例如我們可用以下的方式界定0，1和2(eg. qv. Quine, Mathematical Logic, Revised Ed., Ch. 6, §43-44)：
0 := {x: x ={y: ~(y = y)}}
1 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε0)}
2 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε1)}
〔比如說，如果我們從某個屬於１這個類的分子拿去一個元素的話，那麼該分子便會變成0的分子。換言之，１就是由所有只有一個元素的類組成的類。〕
現在我們一般採用主要由 von Neumann 引入的方法來界定自然數。例如：
0:= Λ, 1:= {Λ} = {0} =0∪{0},
2:= {Λ,{Λ}} = {0,1} = 1∪{1}
[Λ為空集]
一般來說，如果我們已經構作集n, 那麼它的後繼元(successor) n* 就界定為n∪{n}。
在一般的集合論公理系統中（如ZFC）中有一條公理保證這個構作過程能不斷地延續下去，並且所有由這構作方法得到的集合能構成一個集合，這條公理稱為無窮公理(Axiom of Infinity)(當然我們假定了其他一些公理（如並集公理）已經建立。
〔注：無窮公理是一些所謂非邏輯的公理。正是這些公理使得以Russell 為代表的邏輯主義學派的某些主張在最嚴格的意義下不能實現。〕
跟我們便可應用以下的定理來定義關於自然數的加法。
定理：命"|N"表示由所有自然數構成的集合，那麼我們可以唯一地定義映射A：|Nｘ|N→|N，使得它滿足以下的條件：
(1)對於|N中任意的元素x，我們有A(x,0) = x ；
(2)對於|N中任意的元素x和y，我們有A(x,y*) = A(x,y)*。
映射A就是我們用來定義加法的映射，我們可以把以上的條件重寫如下：
(1) x+0 = x ；(2) x+y* = (x+y)*。
現在，我們可以証明"1+1 = 2" 如下：
1+1
= 1+0* (因為 1:= 0*)
= (1+0)* (根據條件(2))
= 1* (根據條件(1))
= 2 (因為 2:= 1*)
〔注：嚴格來說我們要援用遞歸定理(Recursion Theorem)來保證以上的構作方法是妥當的，在此不贅。]
1+ 1= 2"可以說是人類引入自然數及有關的運算後"自然"得到的結論。但從十九世紀起數學家開始為建基於實數系統的分析學建立嚴密的邏輯基礎後，人們才真正審視關於自然數的基礎問題。我相信這方面最"經典"的証明應要算是出現在由Russell和Whitehead合著的"Principia Mathematica";;;;;; ;中的那個。
我們可以這樣証明"1+1 = 2"：
首先，可以推知：
αε１<=> (Σx)(α={x})
βε2 <=> (Σx)(Σy)(β={x,y}.&.~(x=y))
ξε1+1 <=> (Σx)(Σy)(β={x}∪{y}.&.~(x=y))
所以對於任意的集合γ，我們有
γε1+1
<=>(Σx)(Σy)(γ={x}∪{y}.&.~(x=y))
<=>(Σx)(Σy)(γ={x,y}.&.~(x=y))
<=> γε2
根據集合論的外延公理(Axiom of Extension)，我們得到1+1 = 2。]
1先瞭解peano 公設：所謂自然數,就是滿足下列條件,
a.一集合N 中,有元素n,及後繼元素n ,n 與n 對應.
b.元素e 必定屬於N 中.
c.元素e 在N 中不為任一元素的後繼元素.
d.N 中的元素,a =b 則a=b.(元素唯一)
e.(歸納公設)S 為N 的子集,e 屬於S,n 屬於S,n 也屬於S.那麼S=N.
N 就是我們說的自然數集合.
其中我們規定e:=1, e :=2, (e ) :=3,.....以此類推.
2. 再來定義加法,
加法( )為一函數,這函數滿足兩個條件
1.( )(n,e)=n 寫成大家熟悉的式子1.n( )e=n
2.( )(n,m )=(( )(n,m)) 2.n( )m =(n( )m)
滿足上面條件的函數( ),我們稱為加法 .( ):=
滿足這兩條件的函數是可以證明存在且唯一：證明如下
因為( )(e,e)=e
e( )e=e
所以1 1=2 得證.
存在：
e, e ,(e ) ,…… 即所有自然數
唯一：
n N " Î ，
(n,e)=n
(n,e )=( (n,e))
(n,e ) )=………
故( )存在且唯一
上述證明翻成白話文如下：
自然數系依加法運算分別是：1，1 ，(1 ) ，……。而這些1 ，（1 ） ，…就用符號2，3，…
表示，所以1 1指的是1後面那一個數字，也就是1 ，自然就是2。
為什麼會有Peano 公設，及定義加法，這起源於十九世紀末，二十世紀初，Hibert，Brouwer，因物理上狹義相對論，及量子論推翻了物理舊基礎，而數學家們因此想證明，數學是有堅固基礎，是不變的真理。所以希望能從邏輯上建立一個完整、嚴密的基礎，於是第一個當然針對自然數系開始，希望能像歐氏幾何一樣，從基本公設，經由邏輯就可以得到完整的自然數系性質，所以歸結出Peano 五個公設（其實後人把它進一步歸結成三個），而羅素與他的老師懷海德合寫<<數學原理>>三大卷，就是做了一部份工作。Hilbert 擬了一連串計畫要把數學的基礎轉化成邏輯，這樣一來，數學家就可以宣稱「數學是真理」。
不幸的是，1929年Godel 23歲時證明了一個定理：
不完全性定理：
如果有一個系統包含算術，而且這一系統的基本假設並不會互相矛盾，那麼這個系統中一定存在一個命題，這一個命題的肯定或否定都無法證明。所以數學並不只是邏輯。當然「1 + 1 = 2」的證明是否很有意義，可以從Godel的定理來看看。
其實數學上來說, 在自然數(natural number)的世界裏, 這是錯的, 很明顯 1 + 1 = 2 就唔會 1 + 1 = 1等不合理的answer
剛剛我才說了, 那是在自然數世界裏的法則. 如果從這裏我們走入另一個世界, 這當然又唔同講法了. 我們先玩一個把戲, 把1 和 2 掉轉, 這樣, 一個新世界就做了出來, 所有法則亦要改寫
現在 2 + 2 = 1, 1 + 1 = 4 了.
當然, 沒有人會這樣做, 除了這樣很好玩之外。
其實, 1,+,2 都只是符號, 它們可以被定義成現有的方式, 也可以被定義為其它意義. 在電子世界裏, 人們為了簡化電路的設計, 把整個電路分成簡單的兩個狀態, 有電(1)和沒電(0), 當然, 為何有電是1沒電是0只是一個大家共用的習慣而己. 由於只有1和0, 所以, 要設計一套為方便電路設計的數學, 邏輯數學便應運而生. 在電子世界裏, 有三個最基本的設計元件, 分別是and gate, or gate 同 not gate.
and gate 有兩個 input, 只有當同時兩個input都是1時, 它的output 才是1, 否則是0.
or gate 有兩個 input, 當其中一邊input都是1時, 它的output 就是1, 否則是0.
not gate 只有一個input, 它的output就是它input的反轉 1->0, 0->1
只有and, or, not gate, 就可以做到現今所有數位電路了。
2017-04-15 10:21 am
這個問題可以從兩個方面切入。
/
如果是理性主義哲學家，這個等式是一個恆等式，他是分析真理(analytic truth)，即此真理可以用數學、邏輯等符號語言清楚自明，或者說你的陳述句(i.e.1+1)已經包含了述語(i.e. =2，因為數學定義)，此種真理的驗證需要矛盾律。亦即如果你將這個等式取反面，就是1+1≠2，顯然矛盾，則原式為真。
/
若此等式以經驗主義角度切入，則此式成立是因為從出生(出生時，根據洛克的學說，每個人都是一塊白板(tabula rasa)，經驗逐漸建構在我們的認知中)至今的經驗歸納產生的，此種驗證法根基於事實真理，事實真理的驗證需要普遍因果律(universal causality)，即是凡事必有原因。1+1=2，是因為根據德國哲學家康德的《純粹理性批判(Kritik der reinen Vernunft)》，人從物理世界得到某些經驗(這些經驗可能是我們買了一顆蘋果後再買了一顆蘋果，則我們現在有了兩顆蘋果)，經過「範疇」(在康德的語言裡面即是我們的認知世界中「本在的一種因果概念」，我們會為所有看到的東西尋找因果關係，例如說有兩顆質量相同的撞球A,B，一顆快速運動的撞球A，撞到另一顆不動的撞球B，B會動起來，我們會為這個現象建立因果關係。在上述蘋果的例子中即是我們本來就有1和2的概念，在1個蘋果與另1個蘋果的映象刺激進入我們的認知，和我們原本的2的概念相符)處理，「自我意識」(最高的意識信念體系。在蘋果的例子即是1和1共組成2)統一後，然後產生統合的知識，最後我們相信1+1=2。
/
希望以上有解決你的問題^^
附上寫得很棒的參考資料，在這個pdf中第145頁，即chapter 5，有詳細說明。
/
如果是理性主義哲學家，這個等式是一個恆等式，他是分析真理(analytic truth)，即此真理可以用數學、邏輯等符號語言清楚自明，或者說你的陳述句(i.e.1+1)已經包含了述語(i.e. =2，因為數學定義)，此種真理的驗證需要矛盾律。亦即如果你將這個等式取反面，就是1+1≠2，顯然矛盾，則原式為真。
/
若此等式以經驗主義角度切入，則此式成立是因為從出生(出生時，根據洛克的學說，每個人都是一塊白板(tabula rasa)，經驗逐漸建構在我們的認知中)至今的經驗歸納產生的，此種驗證法根基於事實真理，事實真理的驗證需要普遍因果律(universal causality)，即是凡事必有原因。1+1=2，是因為根據德國哲學家康德的《純粹理性批判(Kritik der reinen Vernunft)》，人從物理世界得到某些經驗(這些經驗可能是我們買了一顆蘋果後再買了一顆蘋果，則我們現在有了兩顆蘋果)，經過「範疇」(在康德的語言裡面即是我們的認知世界中「本在的一種因果概念」，我們會為所有看到的東西尋找因果關係，例如說有兩顆質量相同的撞球A,B，一顆快速運動的撞球A，撞到另一顆不動的撞球B，B會動起來，我們會為這個現象建立因果關係。在上述蘋果的例子中即是我們本來就有1和2的概念，在1個蘋果與另1個蘋果的映象刺激進入我們的認知，和我們原本的2的概念相符)處理，「自我意識」(最高的意識信念體系。在蘋果的例子即是1和1共組成2)統一後，然後產生統合的知識，最後我們相信1+1=2。
/
希望以上有解決你的問題^^
附上寫得很棒的參考資料，在這個pdf中第145頁，即chapter 5，有詳細說明。
2017-04-16 11:12 am
這是一個真理但是用簡單的想法來說就是一個蘋果+一個蘋果就會有兩個蘋果
收錄日期: 2021-04-11 21:35:57
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20170415015112AA5wuc2