以　A(1，2，3)，B(-1，1，2)，C（x，y，0）為某三角形之頂點，當x＝【　　　　】，y＝【　　　　】時，使△ABC之周長為最小，且△ABC之周長最小值為?

令 P 點座標為 ( 1 , 2 , - 3 ) ,
則 A 與 P 對稱於 xy平面.
又 C 點在 xy平面,
因此 AC = PC

△ABC 之周長
= AB + BC + AC
= √( 2² + 1² + 1² ) + BC + PC
= √6 + BC + PC

若 z > 0 稱為 xy平面之上, z < 0 稱為 xy平面之下,
則 B 點在 xy平面之上, 而 P 點在 xy平面之下,
因此 BC + PC 之最小值發生在 P , B , C 三點共線時.
此時, 存在實數 t 使得 :
PB向量 = t * ( PC向量 )
( - 2 , - 1 , 5 ) = t * ( x - 1 , y - 2 , 3 )
-2 = t( x - 1 ) , - 1 = t( y - 2 ) , 5 = 3t
解得: t = 5/3 , x = - 1/5 , y = 7/5
即 C 點為 ( - 1/5 , 7/5 , 0 ) 時, BC + PC 有最小值

min ( BC + PC )
= BP , 因為 P , B , C 三點共線
= √( 2² + 1² + 5² )
= √30

min ( △ABC 之周長 )
= √6 + min( BC + PC )
= √6 + √30

Ans: 當 x = - 1/5 , y = 7/5 時, △ABC 之周長有最小值 √6 + √30