(1) 一放射性元素質量隨時間衰退，不論從何時算起，經過相同時間後衰變速率皆相同，今該元素在一年後，質量剩下128g，十年後，質量剩下16g，問該放射性元素的半衰期為幾年?

1)
設該放射性元素的半衰期為 n 年, 則
128 (1/2)^((10-1)/n) = 16
8 = 2^(9/n)
9/n = 3
n = 3
故該放射性元素的半衰期為 3 年。

2)
設 f(x) = Q(x) (x² + x - 12) + ax + b = Q(x) (x - 3)(x + 4) + ax + b

又 f(x) = q(x) (x² - 2x - 3) + x + 9 = q(x) (x - 3)(x + 1) + x + 9

及 f(x) = r(x) (x² + 3x - 4) + x + 2 = r(x) (x - 1)(x + 4) + x + 2

則 f(3) = 3a + b = 3 + 9 = 12 ; f(- 4) = - 4a + b = - 4 + 2 = - 2
⇒ (3a + b) - (- 4a + b) = 12 + 2
7a = 14
a = 2 , 得 b = 6 ,
故 f(x) 除以 (x - 3) (x + 4) = x² + x - 12 的餘式為 ax + b = 2x + 6。

3)
設 f(x) = Q(x) (x - 1)²(x - 2) + k(x - 1)² + 3x = P(x) (x - 2)² + 3x + 2
則 f(2) = k + 3(2) = 3(2) + 2 ⇒ k = 2 ,
故 f(x) 除以(x - 1)² (x - 2) 的餘式為 2(x - 1)² + 3x = 2x² - x + 2。