國中二年級數學,因式分解 X平方-Y平方+2Y-1 =?

x² - y² + 2y - 1
= (x - y)(x + y) + 2y - 1
= (x - y)(x + y) - (x - y) + x + y - 1
= (x - y)(x + y - 1) + x + y - 1
= (x - y + 1)(x + y - 1)

現有邊長為a的正方型紙片3張，和長為a、寬為1的長方形紙片14張，以及邊長為1的正方形紙片x張，若想利用這些紙片拼成一個長方形，則x的最小值為何?

長方形面積 = 3a² + 14a + x
設 3a² + 14a + x = (3a + m)(a + n) = 3a² + (m+3n)a + mn , 比較係數得 m + 3n = 14 , mn = x ,
因 x 是正整數, 故 m、n > 0。
⇒ x = m(14 - m)/3 = (7 + m-7) (7 - (m-7)) / 3 = (49 - (m-7)²) / 3 是正整數
⇒ (m-7)² 是正整數且 (m-7)² < 49 愈大則 x ≥ 1 愈小, 取 (m-7)² = 36 則 x = 13/3 非正整數,
取 (m-7)² = 25 得最小值 x = 8 。

此時 m = 2 , n = 4 , 拼成 (3a + 2) × (a + 4) 之長方形圖示如下:

■ = a² , □ = a × 1 , 1 = 1 × 1

■■■ □□
□□□ 11
□□□ 11
□□□ 11
□□□ 11