假設兩個隨機樣本均來自於常態分配母體。第一個樣本之樣本個數為25，母體平均數為80、母體標準差為5;另一個樣本之樣本個數為36、母體平均數為75、母體標準差為3。請問第一個樣本平均數減去第二個樣本平均數介於3.4至5.9的機率為何?

題目少了一個條件: "這兩個母體互相獨立"

Sol :
設第一個、第二個母體的隨機變數分別是 X、Y
E( Xbar - Ybar )
= E( Xbar ) - E( Ybar )
= E(X) - E(Y)
= 80 - 75
= 5

V( Xbar - Ybar )
= V( Xbar ) + V( Ybar ) , 利用底下性質1
= 5²/25 + 3²/36
= 1 + 1/4
= 5/4

σ( Xbar - Ybar ) = √(5/4) = √5 / 2

P( 3.4 < Xbar - Ybar < 5.9 )
= P( ( 3.4 - 5 )/( √5 / 2 ) < Z < ( 5.9 - 5 )/( √5 / 2 ) )
≒ P( - 1.43 < Z < 0.80 )
= P( Z < 0.80 ) - P( Z < - 1.43 )
= 0.7881 - 0.0764
= 0.7117 ..... Ans

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性質1
若 X , Y 互為獨立變數, 則 :
V( aX ± bY ) = a² V(X) + b² V(Y)