數學問題 Xi為整數且-2≦Xi≦1,X1+X2+X3+………+X2012=-19,X1^2+x2^2+……………x2012^2=199，求x1^3+x2^3+………….x201^3最大及最小值？

題目 x201^3 應該是 x2012^3 的筆誤

Sol :
設這2012個整數有 a 個 - 2 , b 個 - 1 , c 個 0 , d 個 1

x1 + x2 + ..... + x2012 = (-2)a + (-1)b + 0c + 1d = - 19
- 2a - b + d = - 19 ..... (1式)

x1² + x2² + ..... + x2012² = (-2)²a + (-1)²b + 0²c + 1²d = 199
4a + b + d = 199 ..... (2式)

(1式) + (2式) 得:
2a + 2d = 180
a + d = 90
d = 90 - a

0 ≦ 90 - a ≦ 2012
- 90 ≦ - a ≦ 1922
- 1922 ≦ a ≦ 90 , 又 a ≧ 0 , 所以:
0 ≦ a ≦ 90

(2式) - (1式) 得:
6a + 2b = 218
3a + b = 109
b = 109 - 3a

0 ≦ 109 - 3a ≦ 2012
- 109 ≦ - 3a ≦ 1903
- 1903 ≦ 3a ≦ 109 , 又 a ≧ 0 , 所以:
0 ≦ a ≦ 109/3 ≒ 36.3
0 ≦ a ≦ 36

因為這些整數共有 2012 個,
所以 a + b + c + d = 2012
c = 2012 - a - b - d = 2012 - a - ( 109 - 3a ) - ( 90 - a ) = 3a + 1813

0 ≦ 3a + 1813 ≦ 2012
- 1813 ≦ 3a ≦ 199 , 又 a ≧ 0 , 所以:
0 ≦ a ≦ 199/3 ≒ 66.3
0 ≦ a ≦ 66

經過以上討論, a , b , c , d 四個變數實際上只剩一個獨立變數 a ,
b , c , d 皆為相依變數, 隨著 a 而變動.

a 的限定範圍
= { 0 ≦ a ≦ 90 } ∩ { 0 ≦ a ≦ 36 } ∩ { 0 ≦ a ≦ 66 }
= { 0 ≦ a ≦ 36 }

x1³ + x2³ + ..... + x2012³
= (-2)³a + (-1)³b + 0³c + 1³d
= - 8a - b + d
= - 8a - ( 109 - 3a ) + 90 - a
= - 6a - 19

f(a) = - 6a - 19 為遞減的線型函數, 定義域為 { 0 ≦ a ≦ 36 }
最大值 = f(0) = - 19
最小值 = f(36) = - 6*36 - 19 = - 235

Ans: 最大值為 - 19 , 最小值為 - 235