數學問題 有一數列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7.......,a2000,除第一項及末項外,每一項接等於前後緊鄰兩項乘積少一e.g.a2=a1*a3-1,a3=a2*a4-1，已知a1不等於零且a2=2012若第n項an=2012，n小於等於2000，則n最大為何？

a(n) = a(n-1) a(n+1) - 1
⇒ a(n+1) = (a(n) + 1) / a(n-1)

故
a3 = (a2 + 1) / a1 = 2013 / a1 ,
a4 = (a3 + 1) / a2 = (2013 + a1) / (2012 a1)
a5 = (a4 + 1) / a3 = (2013 + 2013a1)/(2012 a1) / (2013 / a1) = (1 + a1) / 2012
a6 = (a5 + 1) / a4 = (2013 + a1) / 2012 / ((2013 + a1) / (2012 a1)) = a1
a7 = (a6 + 1) / a5 = (1 + a1) / ((1 + a1) / 2012) = 2012 = a2
a8 = (a7 + 1) / a6 = (a2 +1) / a1 = a3
a9 = a4
a10 = a5
..............

所以數列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , ... , a2000 由 a1 開始以 5 個項為一循環, 故 a1997 = a2 = 2012 ,
則 n 最大為 1997。